integral 0 pi/2 sin 3x cos 3x dx =

1/6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu dari \int_0^{\pi/2} \sin(3x)\cos(3x) dx, kita dapat menggunakan substitusi atau identitas trigonometri.\n\nMetode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri\nKita tahu bahwa \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta). Dengan mengatur \theta = 3x, kita mendapatkan \sin(6x) = 2\sin(3x)\cos(3x).\nMaka, \sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{2}\sin(6x).\nIntegral menjadi:\n\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\sin(6x) dx\nSekarang kita integralkan:\n\frac{1}{2} \left[ -rac{1}{6}\cos(6x) \right]_0^{\pi/2}\n= -rac{1}{12} \left[ \cos(6x) \right]_0^{\pi/2}\n= -rac{1}{12} \left( \cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(6 \cdot 0) \right)\n= -rac{1}{12} \left( \cos(3\pi) - \cos(0) \right)\n= -rac{1}{12} \left( -1 - 1 \right)\n= -rac{1}{12} \left( -2 \right)\n= \frac{2}{12}\n= \frac{1}{6}\n\nMetode 2: Menggunakan Substitusi\nMisalkan u = \sin(3x). Maka du = 3\cos(3x) dx, atau \cos(3x) dx = \frac{1}{3} du.\nKetika x = 0, u = \sin(0) = 0.\nKetika x = \pi/2, u = \sin(3\pi/2) = -1.\nIntegral menjadi:\n\int_0^{-1} u \left( \frac{1}{3} du \right)\n= \frac{1}{3} \int_0^{-1} u du\n= \frac{1}{3} \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^{-1}\n= \frac{1}{3} \left( \frac{(-1)^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)\n= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - 0 \right)\n= \frac{1}{6}\n\nKedua metode memberikan hasil yang sama.