integral 1/8 1/3 3/x^2 akar(1 + 1/x) dx=... (UMB 2011)

38

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int_{1/8}^{1/3} \frac{3}{x^2} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} dx$, kita dapat menggunakan substitusi.
Misalkan $u = \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$. Maka, $u^2 = 1 + \frac{1}{x}$.
Turunan dari $u^2$ terhadap $x$ adalah $2u \frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$.
Sehingga, $\frac{1}{x^2} dx = -2u du$.

Selanjutnya, kita perlu mengubah batas integral:
Ketika $x = \frac{1}{8}$, $u = \sqrt{1 + \frac{1}{1/8}} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$.
Ketika $x = \frac{1}{3}$, $u = \sqrt{1 + \frac{1}{1/3}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Sekarang, substitusikan ke dalam integral:
$\int_{3}^{2} 3 (-2u du) \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}$ 
Perhatikan bahwa $\sqrt{1 + \frac{1}{x}} = u$. Jadi, integral menjadi:
$\int_{3}^{2} 3 (-2u du) u = \int_{3}^{2} -6u^2 du$

Integralkan terhadap $u$:
$[-6 \frac{u^3}{3}]_{3}^{2} = [-2u^3]_{3}^{2}$

Evaluasi pada batas atas dan bawah:
$(-2(2)^3) - (-2(3)^3) = (-2 	imes 8) - (-2 	imes 27) = -16 - (-54) = -16 + 54 = 38$.

Jadi, nilai integralnya adalah 38.