Misalkan a, b, dan c merupakan tiga bilangan real

1

Pembahasan

Diberikan persamaan kuadrat $(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$. Persamaan ini dikatakan mempunyai akar-akar sama jika diskriminannya sama dengan nol. Diskriminan ($\Delta$) dari persamaan kuadrat $Ax^2 + Bx + C = 0$ adalah $B^2 - 4AC$.

Dalam kasus ini, $A = (b-c)$, $B = (c-a)$, dan $C = (a-b)$.
Maka, diskriminannya adalah:
$\Delta = (c-a)^2 - 4(b-c)(a-b) = 0$
$(c^2 - 2ac + a^2) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$
$c^2 - 2ac + a^2 - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$
$a^2 + 4b^2 + c^2 + 2ac - 4ab - 4bc = 0$

Perhatikan bahwa ekspresi ini dapat difaktorkan sebagai kuadrat sempurna.
Kita bisa mengelompokkan suku-sukunya:
$(a^2 - 4ab + 4b^2) + (c^2 + 2ac - 4bc) = 0$
Ini belum terlihat seperti kuadrat sempurna yang jelas. Mari kita coba bentuk lain:
$(a^2 + c^2 - 2ac) + 4b^2 - 4ab - 4bc + 4ac = 0$
$(a-c)^2 + 4b^2 - 4ab - 4bc + 4ac = 0$

Cara lain untuk melihatnya adalah mencoba menyusun ulang:
$a^2 + 4b^2 + c^2 - 4ab + 2ac - 4bc = 0$
Ini adalah bentuk dari $(a - 2b + c)^2$ atau $(a + 2b - c)^2$ atau $(a - 2b - c)^2$, dll. Mari kita ekspansi $(a - 2b + c)^2$:
$(a - 2b + c)^2 = a^2 + (-2b)^2 + c^2 + 2(a)(-2b) + 2(a)(c) + 2(-2b)(c)$
$= a^2 + 4b^2 + c^2 - 4ab + 2ac - 4bc$

Ini sama persis dengan ekspresi diskriminan yang kita dapatkan.
Jadi, $(a - 2b + c)^2 = 0$.
Ini berarti $a - 2b + c = 0$.
Dari sini, kita dapat menyusun ulang untuk menemukan nilai ekspresi yang diminta:
$a + c = 2b$

Sekarang, kita ingin mencari nilai dari $\frac{b-a}{c-b}$.
Dari $a + c = 2b$, kita bisa mendapatkan:
$c - b = b - a$

Jika $c - b = b - a$, maka kita bisa substitusikan ke dalam ekspresi yang diminta:
$\frac{b-a}{c-b} = \frac{b-a}{b-a} = 1$.

Namun, kita perlu memastikan bahwa penyebutnya tidak nol, yaitu $c-b \neq 0$ dan $b-a \neq 0$. Jika $a, b, c$ adalah bilangan real berlainan, maka ini dipastikan.

Jika kita substitusi $a=1, b=2, c=3$ (bilangan berlainan), maka $a+c = 1+3 = 4$ dan $2b = 2(2)=4$. Kondisi terpenuhi.
Nilai ekspresi: $\frac{b-a}{c-b} = \frac{2-1}{3-2} = \frac{1}{1} = 1$.

Jika kita substitusi $a=1, b=3, c=5$, maka $a+c=1+5=6$ dan $2b=2(3)=6$. Kondisi terpenuhi.
Nilai ekspresi: $\frac{b-a}{c-b} = \frac{3-1}{5-3} = \frac{2}{2} = 1$.

Jadi, nilai dari ekspresi $\frac{b-a}{c-b}$ adalah 1.