integral (x^2-5) sin 2x dx=....

-1/2 x^2 cos(2x) + 1/2 x sin(2x) + 11/4 cos(2x) + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tak tentu dari (x^2 - 5) sin(2x) dx, kita perlu menggunakan metode integrasi parsial. Rumus integrasi parsial adalah:
∫ u dv = uv - ∫ v du

Kita perlu memilih u dan dv dari ekspresi (x^2 - 5) sin(2x) dx.
Pilihan yang baik adalah memilih u sebagai fungsi yang turunannya menjadi lebih sederhana, dan dv sebagai bagian yang mudah diintegralkan.

Pilihan 1:
Misalkan u = x^2 - 5, maka du = 2x dx.
Misalkan dv = sin(2x) dx, maka v = ∫ sin(2x) dx = -1/2 cos(2x).

Menerapkan rumus integrasi parsial:
∫ (x^2 - 5) sin(2x) dx = (x^2 - 5)(-1/2 cos(2x)) - ∫ (-1/2 cos(2x))(2x dx)
= -1/2 (x^2 - 5) cos(2x) + ∫ x cos(2x) dx

Sekarang kita perlu menyelesaikan integral ∫ x cos(2x) dx. Kita gunakan integrasi parsial lagi.

Pilihan 2 (untuk ∫ x cos(2x) dx):
Misalkan u = x, maka du = dx.
Misalkan dv = cos(2x) dx, maka v = ∫ cos(2x) dx = 1/2 sin(2x).

Menerapkan rumus integrasi parsial:
∫ x cos(2x) dx = x(1/2 sin(2x)) - ∫ (1/2 sin(2x)) dx
= 1/2 x sin(2x) - 1/2 ∫ sin(2x) dx
= 1/2 x sin(2x) - 1/2 (-1/2 cos(2x))
= 1/2 x sin(2x) + 1/4 cos(2x)

Sekarang substitusikan hasil ini kembali ke persamaan awal:
∫ (x^2 - 5) sin(2x) dx = -1/2 (x^2 - 5) cos(2x) + (1/2 x sin(2x) + 1/4 cos(2x)) + C

Gabungkan suku-suku yang memiliki cos(2x):
= -1/2 x^2 cos(2x) + 5/2 cos(2x) + 1/2 x sin(2x) + 1/4 cos(2x) + C
= -1/2 x^2 cos(2x) + 1/2 x sin(2x) + (5/2 + 1/4) cos(2x) + C
= -1/2 x^2 cos(2x) + 1/2 x sin(2x) + (10/4 + 1/4) cos(2x) + C
= -1/2 x^2 cos(2x) + 1/2 x sin(2x) + 11/4 cos(2x) + C

Jadi, hasil dari integral (x^2 - 5) sin(2x) dx adalah -1/2 x^2 cos(2x) + 1/2 x sin(2x) + 11/4 cos(2x) + C.