Jarak terdekat titik pada kurva y = 1/2 x^2+1 ke garis 2x-y

3*sqrt(5)/5

Pembahasan

Untuk mencari jarak terdekat titik pada kurva y = 1/2 x^2 + 1 ke garis 2x - y = 4, kita perlu menggunakan konsep gradien.

Gradien garis 2x - y = 4 adalah m = 2.
Jarak terdekat terjadi ketika gradien garis singgung kurva sama dengan gradien garis tersebut.

Turunan pertama dari kurva y = 1/2 x^2 + 1 adalah:
y' = x

Kita samakan gradien turunan kurva dengan gradien garis:
x = 2

Sekarang kita cari nilai y pada kurva ketika x = 2:
y = 1/2 (2)^2 + 1
y = 1/2 (4) + 1
y = 2 + 1
y = 3

Jadi, titik pada kurva yang terdekat dengan garis adalah (2, 3).

Selanjutnya, kita cari jarak antara titik (2, 3) dan garis 2x - y - 4 = 0 menggunakan rumus jarak titik ke garis:
d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)
d = |2(2) - 1(3) - 4| / sqrt(2^2 + (-1)^2)
d = |4 - 3 - 4| / sqrt(4 + 1)
d = |-3| / sqrt(5)
d = 3 / sqrt(5)
d = 3*sqrt(5) / 5