Jarak terpendek titik (4,2) ke titik pada parabola y^2=8x

Jarak terpendek adalah 2√2.

Pembahasan

Untuk mencari jarak terpendek dari titik (4,2) ke parabola y^2 = 8x, kita perlu menggunakan konsep kalkulus untuk mencari nilai minimum dari fungsi jarak. Misalkan titik pada parabola adalah (x, y). Karena y^2 = 8x, maka x = y^2/8. Jarak kuadrat antara (4,2) dan (x,y) adalah D^2 = (x-4)^2 + (y-2)^2. Substitusikan x = y^2/8: D^2 = (y^2/8 - 4)^2 + (y-2)^2. Untuk mencari jarak minimum, kita turunkan D^2 terhadap y dan samakan dengan nol. d(D^2)/dy = 2(y^2/8 - 4)(16y/8) + 2(y-2) = 2(y^2/8 - 4)(2y) + 2(y-2) = (y^2/4 - 8)(2y) + 2y - 4 = y^3/2 - 16y + 2y - 4 = y^3/2 - 14y - 4. Kita perlu menyelesaikan persamaan y^3/2 - 14y - 4 = 0 atau y^3 - 28y - 8 = 0. Dengan mencoba nilai y yang rasional (pembagi dari 8), kita menemukan bahwa y = -4 adalah salah satu akarnya. Jika y = -4, maka x = (-4)^2/8 = 16/8 = 2. Jaraknya adalah sqrt((2-4)^2 + (-4-2)^2) = sqrt((-2)^2 + (-6)^2) = sqrt(4+36) = sqrt(40) = 2*sqrt(10). Jika kita gunakan metode lain dengan menemukan garis normal pada parabola yang melalui titik (4,2), kita bisa mendapatkan hasil yang sama. Gradien parabola dy/dx = dy/dx(sqrt(8x)) = (1/2)*(8x)^(-1/2)*8 = 4/sqrt(8x) = 4/(2*sqrt(2x)) = 2/sqrt(2x). Gradien garis normal adalah -sqrt(2x)/2. Persamaan garis normal adalah y - y_parabola = (-sqrt(2x)/2)(X - x_parabola). Titik (4,2) terletak pada garis normal ini: 2 - y = (-sqrt(2x)/2)(4 - x). Substitusikan y = sqrt(8x): 2 - sqrt(8x) = (-sqrt(2x)/2)(4 - x). 2 - 2*sqrt(2x) = -2*sqrt(2x) + (sqrt(2x)/2)x. 2 = (sqrt(2x)/2)x. 4 = x*sqrt(2x). 16 = x^2 * 2x = 2x^3. x^3 = 8, maka x=2. Jika x=2, maka y^2 = 8*2 = 16, y = +/- 4. Titik pada parabola adalah (2, 4) atau (2, -4). Jarak dari (4,2) ke (2,4) adalah sqrt((2-4)^2 + (4-2)^2) = sqrt((-2)^2 + 2^2) = sqrt(4+4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2). Jarak dari (4,2) ke (2,-4) adalah sqrt((2-4)^2 + (-4-2)^2) = sqrt((-2)^2 + (-6)^2) = sqrt(4+36) = sqrt(40) = 2*sqrt(10). Jarak terpendek adalah 2*sqrt(2).