Jawablah pertanyaan berikut dengan benar.Tentukan himpunan

Himpunan penyelesaiannya adalah (-∞, -8] U (-1/2, ∞).

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x^2+11x+24)/(2x^2+7x+3) >= 0, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut terlebih dahulu.

Pembilang: x^2 + 11x + 24 = 0
Faktorkan: (x+3)(x+8) = 0
Akar-akar pembilang adalah x = -3 dan x = -8.

Penyebut: 2x^2 + 7x + 3 = 0
Faktorkan: (2x+1)(x+3) = 0
Akar-akar penyebut adalah x = -1/2 dan x = -3.

Perlu diperhatikan bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol, sehingga x tidak boleh sama dengan -1/2 dan x tidak boleh sama dengan -3.

Sekarang kita punya titik-titik kritis: -8, -3, -1/2.
Kita uji interval:
1. x < -8: Ambil x = -9. ((-9)^2+11(-9)+24)/(2(-9)^2+7(-9)+3) = (81-99+24)/(162-63+3) = 6/102 > 0
2. -8 < x < -3: Ambil x = -4. ((-4)^2+11(-4)+24)/(2(-4)^2+7(-4)+3) = (16-44+24)/(32-28+3) = -4/7 < 0
3. -3 < x < -1/2: Ambil x = -1. ((-1)^2+11(-1)+24)/(2(-1)^2+7(-1)+3) = (1-11+24)/(2-7+3) = 14/-2 < 0
4. x > -1/2: Ambil x = 0. ((0)^2+11(0)+24)/(2(0)^2+7(0)+3) = 24/3 > 0

Karena pertidaksamaan >= 0, maka kita ambil interval yang positif. Namun, kita harus memperhatikan bahwa x tidak boleh sama dengan -3 karena akan membuat penyebut menjadi nol, meskipun pembilang juga nol. Dalam kasus ini, nilai x = -3 adalah akar ganda untuk keseluruhan ekspresi jika kita menganggapnya sebagai rasional. Namun, karena penyebut nol, maka x = -3 tidak termasuk dalam solusi.

Himpunan penyelesaiannya adalah x <= -8 atau x > -1/2.

Dalam notasi interval: (-∞, -8] U (-1/2, ∞)