Jika 0 <= x <= pi , maka himpunan penyelesaian dari cos

(\pi/6, \pi/2) U (5\pi/6, \pi]

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\cos x - \sin 2x < 0\) pada interval \(0 \le x \le \pi\), kita perlu mengubah \(\sin 2x\) menjadi bentuk yang melibatkan \(\sin x\) dan \(\cos x\). Menggunakan identitas \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), pertidaksamaan menjadi \(\cos x - 2 \sin x \cos x < 0\).

Kita bisa memfaktorkan \(\cos x\) dari kedua suku: \(\cos x (1 - 2 \sin x) < 0\).

Sekarang kita perlu mencari nilai-nilai \(x\) di mana \(\cos x = 0\) atau \(1 - 2 \sin x = 0\) pada interval \(0 \le x \le \pi\).

1. \(\cos x = 0\) terjadi ketika \(x = \frac{\pi}{2}\) pada interval yang diberikan.
2. \(1 - 2 \sin x = 0\) berarti \(2 \sin x = 1\), atau \(\sin x = \frac{1}{2}\). Ini terjadi ketika \(x = \frac{\pi}{6}\) dan \(x = \frac{5\pi}{6}\) pada interval yang diberikan.

Sekarang kita punya titik-titik kritis \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\) yang membagi interval \([0, \pi]\) menjadi beberapa sub-interval: \([0, \frac{\pi}{6}), (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}), (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}), (\frac{5\pi}{6}, \pi]\).

Kita uji tanda dari \(\cos x (1 - 2 \sin x)\) di setiap sub-interval:
*   Untuk \(0 \le x < \frac{\pi}{6}\), ambil \(x = \frac{\pi}{12}\): \(\cos(\frac{\pi}{12}) > 0\) dan \(\sin(\frac{\pi}{12}) < \frac{1}{2}\), jadi \(1 - 2\sin(\frac{\pi}{12}) > 0\). Hasilnya: \((+) \times (+) = +\).
*   Untuk \(\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}\), ambil \(x = \frac{\pi}{4}\): \(\cos(\frac{\pi}{4}) > 0\) dan \(\sin(\frac{\pi}{4}) > \frac{1}{2}\), jadi \(1 - 2\sin(\frac{\pi}{4}) < 0\). Hasilnya: \((+) \times (-) = -\).
*   Untuk \(\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6}\), ambil \(x = \frac{2\pi}{3}\): \(\cos(\frac{2\pi}{3}) < 0\) dan \(\sin(\frac{2\pi}{3}) > \frac{1}{2}\), jadi \(1 - 2\sin(\frac{2\pi}{3}) < 0\). Hasilnya: \((-) \times (-) = +\).
*   Untuk \(\frac{5\pi}{6} < x \le \pi\), ambil \(x = \frac{11\pi}{12}\): \(\cos(\frac{11\pi}{12}) < 0\) dan \(\sin(\frac{11\pi}{12}) < \frac{1}{2}\), jadi \(1 - 2\sin(\frac{11\pi}{12}) > 0\). Hasilnya: \((-) \times (+) = -\).

Pertidaksamaan \(\cos x (1 - 2 \sin x) < 0\) terpenuhi ketika hasilnya negatif.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}\) atau \(\frac{5\pi}{6} < x \le \pi\).