Jika 10^(999999999) dibagi oleh 7, maka sisanya adalah....

Sisanya adalah 6.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan sifat-sifat bilangan berpangkat dan operasi modulo.
Kita perlu mencari sisa dari 10^(999999999) dibagi oleh 7. Ini dapat ditulis sebagai 10^(999999999) mod 7.

Langkah pertama adalah menyederhanakan basisnya modulo 7:
10 mod 7 = 3.
Jadi, 10^(999999999) mod 7 sama dengan 3^(999999999) mod 7.

Selanjutnya, kita cari pola dari pangkat 3 modulo 7:
3^1 mod 7 = 3
3^2 mod 7 = 9 mod 7 = 2
3^3 mod 7 = 3 * 2 mod 7 = 6
3^4 mod 7 = 3 * 6 mod 7 = 18 mod 7 = 4
3^5 mod 7 = 3 * 4 mod 7 = 12 mod 7 = 5
3^6 mod 7 = 3 * 5 mod 7 = 15 mod 7 = 1

Kita menemukan bahwa pola pengulangannya adalah 6 (yaitu, 3^6 ≡ 1 mod 7).

Sekarang kita perlu mencari sisa dari eksponen 999999999 ketika dibagi oleh 6.
999999999 mod 6
Untuk mencari sisa pembagian dengan 6, kita bisa melihat sisa pembagian dengan 2 dan 3.

999999999 adalah bilangan ganjil, jadi 999999999 mod 2 = 1.
Jumlah digit 999999999 adalah 9. Jumlah digit adalah 9, yang habis dibagi 3. Jadi, 999999999 mod 3 = 0.

Karena 999999999 ≡ 1 (mod 2) dan 999999999 ≡ 0 (mod 3), kita cari bilangan x sedemikian rupa sehingga:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 0 (mod 3)

Dari x ≡ 0 (mod 3), x bisa berupa 0, 3, 6, 9, ...
Dari x ≡ 1 (mod 2), x harus ganjil.
Jadi, x yang memenuhi adalah 3.

Ini berarti 999999999 mod 6 = 3.

Oleh karena itu, 3^(999999999) mod 7 = 3^(6k + 3) mod 7 = (3^6)^k * 3^3 mod 7.
Karena 3^6 ≡ 1 mod 7, maka:
(1)^k * 3^3 mod 7 = 1 * 27 mod 7.

27 mod 7 = 6.

Jadi, sisa dari 10^(999999999) dibagi oleh 7 adalah 6.