Jika 2 cos(x+45)=cos(x-45), hitunglah: a. tan x b. cos x c.

a. tan x = 1/3, b. cos x = ±3/√10, c. cos(30°+x) = ±(3√3 - 1)/(2√10), d. cos(x-30°) = ±(3√3 + 1)/(2√10)

Pembahasan

Jawaban untuk Soal #2: 

Diketahui persamaan: 2 cos(x+45°) = cos(x-45°)

Kita dapat menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan sudut untuk cosinus:
cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B
cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B

Menerapkan identitas ini pada persamaan:
2 [cos x cos 45° - sin x sin 45°] = cos x cos 45° + sin x sin 45°

Kita tahu bahwa cos 45° = sin 45° = 1/√2.
2 [cos x (1/√2) - sin x (1/√2)] = cos x (1/√2) + sin x (1/√2)

Kalikan kedua sisi dengan √2 untuk menyederhanakan:
2 [cos x - sin x] = cos x + sin x

2 cos x - 2 sin x = cos x + sin x

Sekarang, kita pisahkan suku-suku yang mengandung cos x dan sin x:
2 cos x - cos x = sin x + 2 sin x
cos x = 3 sin x

a. Mencari tan x:
Bagi kedua sisi dengan cos x (dengan asumsi cos x ≠ 0):
1 = 3 (sin x / cos x)
1 = 3 tan x
tan x = 1/3

b. Mencari cos x:
Kita tahu bahwa tan x = sin x / cos x = 1/3. Ini berarti sin x = (1/3) cos x.
Kita juga tahu identitas sin²x + cos²x = 1.
Substitusikan sin x:
((1/3) cos x)² + cos²x = 1
(1/9) cos²x + cos²x = 1
(1/9 + 1) cos²x = 1
(10/9) cos²x = 1
cos²x = 9/10
cos x = ±√(9/10) = ±3/√10 = ±(3√10)/10

c. Mencari cos(30°+x):
Menggunakan identitas cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B:
cos(30°+x) = cos 30° cos x - sin 30° sin x
Kita tahu cos 30° = √3/2 dan sin 30° = 1/2.
cos(30°+x) = (√3/2) cos x - (1/2) sin x
Karena sin x = (1/3) cos x:
cos(30°+x) = (√3/2) cos x - (1/2) ((1/3) cos x)
cos(30°+x) = (√3/2) cos x - (1/6) cos x
cos(30°+x) = (√3/2 - 1/6) cos x
cos(30°+x) = ((3√3 - 1)/6) cos x
Substitusikan nilai cos x = ±3/√10:
cos(30°+x) = ((3√3 - 1)/6) * (±3/√10)
cos(30°+x) = ±(3√3 - 1) / (2√10)
cos(30°+x) = ±(3√30 - √10) / 20

d. Mencari cos(x-30°):
Menggunakan identitas cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B:
cos(x-30°) = cos x cos 30° + sin x sin 30°
cos(x-30°) = cos x (√3/2) + sin x (1/2)
Karena sin x = (1/3) cos x:
cos(x-30°) = cos x (√3/2) + ((1/3) cos x) (1/2)
cos(x-30°) = (√3/2) cos x + (1/6) cos x
cos(x-30°) = (√3/2 + 1/6) cos x
cos(x-30°) = ((3√3 + 1)/6) cos x
Substitusikan nilai cos x = ±3/√10:
cos(x-30°) = ((3√3 + 1)/6) * (±3/√10)
cos(x-30°) = ±(3√3 + 1) / (2√10)
cos(x-30°) = ±(3√30 + √10) / 20

Ringkasan Jawaban:
a. tan x = 1/3
b. cos x = ±(3√10)/10
c. cos(30°+x) = ±(3√30 - √10)/20
d. cos(x-30°) = ±(3√30 + √10)/20