Diketahui bidang empat K.INO dengan sudut KIN = 90. Jika IN

a. IS = 2√3 cm, b. KS = 2√7 cm

Pembahasan

Diketahui bidang empat K.INO dengan sudut KIN = 90 derajat. Panjang rusuk IN = NO = IO = IK = 4 cm. S adalah titik tengah rusuk NO.

a. Menghitung panjang rusuk IS:
Segitiga ION adalah segitiga siku-siku di O, dengan IO = 4 cm dan NO = 4 cm.
Namun, dari deskripsi soal, sudut KIN = 90 derajat. Diasumsikan bahwa K.INO adalah sebuah bidang empat (limas) dengan alas segitiga ION dan titik puncak K.
Jika IN = NO = IO = 4 cm, maka segitiga ION adalah segitiga sama sisi.
Namun, disebutkan sudut KIN = 90 derajat. Ini berarti ada segitiga siku-siku di KIN.

Mari kita asumsikan bidang alasnya adalah segitiga siku-siku di O, dengan IN sebagai hipotenusa.
Jika IN = 4 cm dan IO = 4 cm, dan sudut KIN = 90 derajat, ini menimbulkan kontradiksi karena tidak mungkin IO = IN dalam segitiga siku-siku KIN.

Mari kita interpretasikan ulang soal. Misalkan K adalah titik puncak, dan I, N, O adalah titik-titik di alas.
Jika K.INO adalah bidang empat (limas segitiga), dan sudut KIN = 90 derajat, ini berarti sudut pada pertemuan rusuk KI dan IN adalah 90 derajat.

Jika IN = NO = IO = IK = 4 cm, ini berarti:
- Segitiga ION memiliki sisi IO = 4, NO = 4. Jika sudut KIN = 90, maka segitiga KIN adalah segitiga siku-siku di I.
- KI = 4 cm, IN = 4 cm.
- S adalah titik tengah rusuk NO. Jadi, NS = SO = NO/2 = 4/2 = 2 cm.

a. Menghitung panjang rusuk IS:
Perhatikan segitiga SON. Ini adalah segitiga siku-siku di O (karena NO adalah rusuk alas dan O adalah titik di alas).
SO = 2 cm, ON = 4 cm. Namun, SON bukan segitiga siku-siku di O. NO adalah rusuk.

Jika kita menganggap alasnya adalah segitiga ION, dan S adalah titik tengah NO.
Dalam segitiga ION, IO = 4, NO = 4. Untuk mencari IS, kita perlu mengetahui bentuk segitiga ION.
Jika kita menganggap O adalah pusat alas dan IO = NO = 4, dan S adalah titik tengah NO.

Mari kita asumsikan struktur limas dengan K sebagai puncak dan ION sebagai alas.
IK = 4, IN = 4, IO = 4, NO = 4.
Sudut KIN = 90 derajat.
Ini berarti segitiga KIN adalah segitiga siku-siku di I.

a. Menghitung panjang rusuk IS:
Perhatikan segitiga ION. Kita tahu IO = 4, NO = 4. Kita perlu mengetahui sudut ION atau panjang ON untuk menentukan IS jika S adalah titik tengah NO.
Jika kita menganggap alasnya adalah segitiga sama sisi ION, maka IS adalah garis berat dan juga tinggi dari sudut I ke NO. Namun, kita tidak diberi informasi bahwa ION sama sisi, hanya IO = NO = 4.

Jika kita menganggap titik O berada di suatu tempat sehingga IO = 4 dan NO = 4.
S adalah titik tengah NO, sehingga NS = SO = 2.
Kita perlu segitiga yang melibatkan IS. Perhatikan segitiga ION. Jika kita menganggap IO = 4, NO = 4, dan kita perlu mencari IS.
Jika segitiga ION adalah segitiga siku-siku di O (yang tidak disebutkan), maka IS bisa dihitung.

Mari kita gunakan informasi yang diberikan secara langsung:
IK = 4, IN = 4, IO = 4, NO = 4. Sudut KIN = 90 derajat. S adalah titik tengah NO.

a. Menghitung panjang rusuk IS:
Kita perlu melihat segitiga yang ada. Perhatikan segitiga ION. Kita tahu IO = 4 dan NO = 4. S adalah titik tengah NO, jadi SO = 2.
Untuk menghitung IS, kita perlu informasi lebih lanjut tentang segitiga ION, seperti sudut ION atau panjang sisi ION.

Jika kita menganggap bahwa I, N, O membentuk segitiga, dan S adalah titik tengah NO.
Dalam segitiga ION, kita memiliki sisi IO = 4 dan NO = 4.
Jika kita menganggap O adalah titik asal, N adalah (4,0), maka S adalah (2,0).
Kita perlu koordinat I. Jika IO = 4, I bisa berada di mana saja pada lingkaran berjari-jari 4 dari O.

Mari kita lihat jika ada informasi yang terlewat atau dapat disimpulkan.
Jika K.INO adalah bidang empat, maka K-ION adalah limas dengan alas segitiga ION.
Sudut KIN = 90 derajat.
IK = 4, IN = 4.
Ini berarti segitiga KIN adalah segitiga siku-siku di I, dengan sisi siku-siku KI = 4 dan IN = 4.

a. Menghitung panjang rusuk IS:
Perhatikan segitiga ION. Kita punya IO = 4, NO = 4.
S adalah titik tengah NO. Untuk menghitung IS, kita perlu melihat segitiga ION.
Jika kita menganggap segitiga ION siku-siku di O, maka IS adalah garis berat ke sisi NO.
Namun, informasi yang diberikan adalah IN = NO = IO = IK = 4 cm.
Ini berarti semua rusuk yang disebutkan memiliki panjang 4 cm.

Jadi, IO = 4 cm, NO = 4 cm, dan S adalah titik tengah NO, sehingga SO = 2 cm.
Perhatikan segitiga ION. Kita tahu IO = 4 dan NO = 4. S adalah titik tengah NO.
Untuk mencari IS, kita perlukan sudut ION atau panjang sisi ION.
Jika semua rusuk K.INO adalah 4, ini adalah limas dengan alas segitiga sama sisi ION, dan rusuk tegak IK = 4.
Jika ION adalah segitiga sama sisi, maka IS adalah garis berat dari I ke sisi NO.
Dalam segitiga sama sisi, garis berat juga merupakan garis tinggi.
Jika ION sama sisi dengan sisi 4, maka S adalah titik tengah NO.
Dalam segitiga ISO, kita punya IO = 4, SO = 2. Sudut ISO tidak diketahui.

Mari kita gunakan teorema Pythagoras pada segitiga yang relevan.
Kita punya segitiga ION dengan IO = 4, NO = 4. S adalah titik tengah NO, jadi SO = 2.
Kita perlu mencari IS.
Jika kita menganggap segitiga ION siku-siku di O, maka IS adalah hipotenusa dari segitiga SOS' (jika S' adalah proyeksi I ke NO).

Kemungkinan besar, ada informasi yang mengimplikasikan bentuk segitiga ION.
Jika IO = NO = 4, dan S adalah titik tengah NO.

Jika kita melihat segitiga KIN, KIN siku-siku di I, dengan KI = 4, IN = 4. Maka KN = sqrt(KI^2 + IN^2) = sqrt(4^2 + 4^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2).

Kembali ke IS:
Kita punya segitiga ION dengan IO = 4, NO = 4. S adalah titik tengah NO.
Untuk menemukan IS, kita perlu sudut ION atau apakah segitiga ION siku-siku.

Jika kita menganggap bahwa semua rusuk yang disebutkan (IO, NO, IK, IN) adalah rusuk dari bidang empat.
Dan sudut KIN = 90 derajat.

a. Menghitung panjang rusuk IS:
Dalam segitiga ION, kita memiliki IO = 4 cm, NO = 4 cm.
S adalah titik tengah NO, sehingga SO = 2 cm.
Untuk menghitung IS, kita perlu mengetahui sudut ION atau panjang sisi ION.
Jika kita mengasumsikan bahwa bidang alas ION adalah segitiga siku-siku di O (karena tidak ada informasi lain), maka IO = 4 dan ON = 4.
Dalam segitiga SOS, S adalah titik tengah NO. Perhatikan segitiga IOS. Kita punya IO = 4, SO = 2. Kita perlu sudut IOS.

Jika kita menganggap O adalah titik asal (0,0,0), N adalah (4,0,0), maka S adalah (2,0,0).
Jika IO = 4, maka I bisa berada di (x,y,z) dengan x^2 + y^2 + z^2 = 4^2 = 16.
Jika IK = 4 dan sudut KIN = 90, ini sangat spesifik.

Mari kita coba pendekatan lain. Jika semua rusuk bidang empat adalah 4, dan sudut KIN = 90.
Ini berarti:
KI = 4
IN = 4
IO = 4
NO = 4

a. Menghitung IS:
Perhatikan segitiga ION. Kita punya IO = 4, NO = 4. S adalah titik tengah NO, jadi SN = SO = 2.
Untuk menghitung IS, kita bisa menggunakan aturan kosinus jika kita tahu sudut ION, atau jika segitiga ION siku-siku.

Jika kita menganggap O adalah titik asal, dan N berada pada sumbu x positif (4,0).
Maka S berada di (2,0).
Jika IO = 4, maka I berada pada lingkaran berjari-jari 4 dari O.
Jika IN = 4, maka I berada pada lingkaran berjari-jari 4 dari N.

Jika segitiga ION siku-siku di O, maka IO = 4, ON = 4.
S adalah titik tengah ON, jadi OS = 2.
Dalam segitiga siku-siku IOS, dengan siku-siku di O:
IS^2 = IO^2 + SO^2
IS^2 = 4^2 + 2^2
IS^2 = 16 + 4
IS^2 = 20
IS = sqrt(20) = 2*sqrt(5) cm.

Ini adalah asumsi bahwa segitiga ION siku-siku di O. Namun, soal hanya memberikan IN=NO=IO=IK=4.

Mari kita perhatikan sifat bidang empat yang semua rusuknya sama panjang (tetrahedron reguler). Namun, sudut KIN = 90 derajat membatalkan ini.

Jika IN = NO = 4, dan S adalah titik tengah NO, maka SO = 2.
Dalam segitiga ION, IO = 4, NO = 4.

Jika kita gunakan teorema Apollonius pada segitiga ION dengan garis berat IS:
IO^2 + IN^2 = 2(IS^2 + SN^2)
4^2 + 4^2 = 2(IS^2 + 2^2)
16 + 16 = 2(IS^2 + 4)
32 = 2(IS^2 + 4)
16 = IS^2 + 4
IS^2 = 16 - 4
IS^2 = 12
IS = sqrt(12) = 2*sqrt(3) cm.

Ini mengasumsikan bahwa IN adalah sisi ketiga dari segitiga ION. Tetapi IN adalah rusuk yang berbeda.

Kita punya segitiga ION, dengan IO=4, NO=4. S adalah titik tengah NO. Maka SO=2.
Kita perlu mencari IS.
Jika kita menganggap IN=4 adalah sisi dari segitiga ION (yaitu, IN adalah sisi yang sama dengan NO dan IO), maka itu adalah segitiga sama sisi.
Tetapi IN adalah rusuk yang menghubungkan titik I dan N.

Mari kita fokus pada segitiga yang melibatkan IS: yaitu segitiga ION.
Kita tahu IO = 4, NO = 4, dan S adalah titik tengah NO.
Untuk menghitung IS, kita perlu mengetahui sudut ION.

Jika kita menganggap O adalah titik asal (0,0).
N dapat berada di (4,0). Maka S berada di (2,0).
Jika IO = 4, maka I dapat berada di (x,y) di mana x^2 + y^2 = 16.

Perhatikan bahwa IN = 4.
Jarak antara I(x,y) dan N(4,0) adalah 4.
(x-4)^2 + (y-0)^2 = 4^2
(x-4)^2 + y^2 = 16
x^2 - 8x + 16 + y^2 = 16
Karena x^2 + y^2 = 16, kita substitusikan:
16 - 8x + 16 = 16
32 - 8x = 16
8x = 16
x = 2.

Sekarang kita punya x=2. Substitusikan kembali ke x^2 + y^2 = 16:
2^2 + y^2 = 16
4 + y^2 = 16
y^2 = 12
y = +/- sqrt(12) = +/- 2*sqrt(3).

Jadi, koordinat I adalah (2, 2*sqrt(3)) atau (2, -2*sqrt(3)).

Sekarang kita hitung IS.
S berada di (2,0).
I berada di (2, 2*sqrt(3)).

Jarak IS = sqrt((2-2)^2 + (2*sqrt(3) - 0)^2)
IS = sqrt(0^2 + (2*sqrt(3))^2)
IS = sqrt(0 + 12)
IS = sqrt(12) = 2*sqrt(3) cm.

Jadi, panjang rusuk IS adalah 2*sqrt(3) cm.

b. Menghitung panjang rusuk KS:
Kita perlu koordinat K. Kita tahu KIN = 90 derajat, KI = 4, IN = 4.
N berada di (4,0).
I berada di (2, 2*sqrt(3)).

Karena sudut KIN = 90, vektor KI tegak lurus terhadap vektor IN.

Koordinat N = (4,0).
Koordinat I = (2, 2*sqrt(3)).
Vektor IN = N - I = (4-2, 0 - 2*sqrt(3)) = (2, -2*sqrt(3)).

Koordinat K = (x_k, y_k).
Vektor IK = K - I = (x_k - 2, y_k - 2*sqrt(3)).

Karena IK tegak lurus IN, hasil kali titik IK . IN = 0.
(x_k - 2)(2) + (y_k - 2*sqrt(3))(-2*sqrt(3)) = 0
2x_k - 4 - 2*sqrt(3)*y_k + (2*sqrt(3))^2 = 0
2x_k - 4 - 2*sqrt(3)*y_k + 12 = 0
2x_k - 2*sqrt(3)*y_k + 8 = 0
x_k - sqrt(3)*y_k + 4 = 0
x_k = sqrt(3)*y_k - 4.

Kita juga tahu KI = 4.
(x_k - 2)^2 + (y_k - 2*sqrt(3))^2 = 4^2 = 16.
Substitusikan x_k:
(sqrt(3)*y_k - 4 - 2)^2 + (y_k - 2*sqrt(3))^2 = 16
(sqrt(3)*y_k - 6)^2 + (y_k - 2*sqrt(3))^2 = 16
(3y_k^2 - 12*sqrt(3)*y_k + 36) + (y_k^2 - 4*sqrt(3)*y_k + 12) = 16
4y_k^2 - 16*sqrt(3)*y_k + 48 = 16
4y_k^2 - 16*sqrt(3)*y_k + 32 = 0
y_k^2 - 4*sqrt(3)*y_k + 8 = 0.

Gunakan rumus kuadrat untuk y_k:
y_k = [-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
y_k = [4*sqrt(3) +/- sqrt((-4*sqrt(3))^2 - 4*1*8)] / 2*1
y_k = [4*sqrt(3) +/- sqrt(48 - 32)] / 2
y_k = [4*sqrt(3) +/- sqrt(16)] / 2
y_k = [4*sqrt(3) +/- 4] / 2
y_k = 2*sqrt(3) +/- 2.

Kasus 1: y_k = 2*sqrt(3) + 2
x_k = sqrt(3)*(2*sqrt(3) + 2) - 4
x_k = 6 + 2*sqrt(3) - 4
x_k = 2 + 2*sqrt(3).
Koordinat K = (2 + 2*sqrt(3), 2 + 2*sqrt(3)).

Kasus 2: y_k = 2*sqrt(3) - 2
x_k = sqrt(3)*(2*sqrt(3) - 2) - 4
x_k = 6 - 2*sqrt(3) - 4
x_k = 2 - 2*sqrt(3).
Koordinat K = (2 - 2*sqrt(3), 2*sqrt(3) - 2).

Kita perlu menghitung KS. S berada di (2,0).

Jika K = (2 + 2*sqrt(3), 2 + 2*sqrt(3)):
KS^2 = (2 + 2*sqrt(3) - 2)^2 + (2 + 2*sqrt(3) - 0)^2
KS^2 = (2*sqrt(3))^2 + (2 + 2*sqrt(3))^2
KS^2 = 12 + (4 + 8*sqrt(3) + 12)
KS^2 = 12 + 16 + 8*sqrt(3)
KS^2 = 28 + 8*sqrt(3).
KS = sqrt(28 + 8*sqrt(3)).

Jika K = (2 - 2*sqrt(3), 2*sqrt(3) - 2):
KS^2 = (2 - 2*sqrt(3) - 2)^2 + (2*sqrt(3) - 2 - 0)^2
KS^2 = (-2*sqrt(3))^2 + (2*sqrt(3) - 2)^2
KS^2 = 12 + (12 - 8*sqrt(3) + 4)
KS^2 = 12 + 16 - 8*sqrt(3)
KS^2 = 28 - 8*sqrt(3).
KS = sqrt(28 - 8*sqrt(3)).

Ada kemungkinan interpretasi yang lebih sederhana jika bidang empatnya memiliki simetri.

Mari kita asumsikan bahwa bidang alas ION adalah sama kaki dengan IO=NO=4. Dan S adalah titik tengah NO.
Jika kita menganggap O adalah titik sudut, IO=4, ON=4. S adalah titik tengah ON, jadi OS=2.
Jika kita lihat segitiga IOS, kita perlu sudut ION.

Namun, jika IN=NO=IO=IK=4, dan sudut KIN = 90.
Ini memberikan informasi yang cukup untuk menempatkan titik-titik.

N = (4,0,0).
I = (0,4,0) (memilih sumbu yang berbeda agar IN=4).
S adalah titik tengah NO. Jika N=(4,0,0) dan O=(0,0,0), maka S=(2,0,0).
IO = 4 (jarak dari (0,0,0) ke (0,4,0) = 4). OK.
IN = 4 (jarak dari (0,4,0) ke (4,0,0) = sqrt((4-0)^2 + (0-4)^2 + (0-0)^2) = sqrt(16+16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2)).

Ini tidak sesuai dengan IN=4.

Kembali ke perhitungan koordinat sebelumnya yang tampak lebih menjanjikan.
N=(4,0), O=(0,0), S=(2,0).
I=(2, 2*sqrt(3)).

a. IS = 2*sqrt(3) cm.

b. Menghitung KS.
Kita perlu koordinat K. Sudut KIN = 90, KI = 4.
N=(4,0), I=(2, 2*sqrt(3)).
Vektor IN = (2, -2*sqrt(3)).
Vektor KI harus tegak lurus IN dan panjangnya 4.
Jika vektor IN = (a,b), maka vektor tegak lurusnya adalah (-b,a) atau (b,-a).
VEktor tegak lurus = (2*sqrt(3), 2) atau (-2*sqrt(3), -2).

Panjang vektor tegak lurus (2*sqrt(3), 2) = sqrt((2*sqrt(3))^2 + 2^2) = sqrt(12+4) = sqrt(16) = 4.
Panjang vektor tegak lurus (-2*sqrt(3), -2) = sqrt((-2*sqrt(3))^2 + (-2)^2) = sqrt(12+4) = sqrt(16) = 4.

Jadi, vektor KI bisa (2*sqrt(3), 2) atau (-2*sqrt(3), -2).

Jika vektor KI = (2*sqrt(3), 2):
K = I + KI = (2, 2*sqrt(3)) + (2*sqrt(3), 2) = (2 + 2*sqrt(3), 2*sqrt(3) + 2).

Jika vektor KI = (-2*sqrt(3), -2):
K = I + KI = (2, 2*sqrt(3)) + (-2*sqrt(3), -2) = (2 - 2*sqrt(3), 2*sqrt(3) - 2).

Kita hitung KS.
S = (2,0).

Kasus 1: K = (2 + 2*sqrt(3), 2*sqrt(3) + 2).
KS^2 = (2 + 2*sqrt(3) - 2)^2 + (2*sqrt(3) + 2 - 0)^2
KS^2 = (2*sqrt(3))^2 + (2*sqrt(3) + 2)^2
KS^2 = 12 + (12 + 8*sqrt(3) + 4)
KS^2 = 12 + 16 + 8*sqrt(3) = 28 + 8*sqrt(3).
KS = sqrt(28 + 8*sqrt(3)).

Kasus 2: K = (2 - 2*sqrt(3), 2*sqrt(3) - 2).
KS^2 = (2 - 2*sqrt(3) - 2)^2 + (2*sqrt(3) - 2 - 0)^2
KS^2 = (-2*sqrt(3))^2 + (2*sqrt(3) - 2)^2
KS^2 = 12 + (12 - 8*sqrt(3) + 4)
KS^2 = 12 + 16 - 8*sqrt(3) = 28 - 8*sqrt(3).
KS = sqrt(28 - 8*sqrt(3)).

Ini masih sangat kompleks. Mari kita cari cara geometris yang lebih sederhana.

Asumsi: Bidang K.INO adalah limas dengan alas segitiga ION. Sudut KIN = 90. IN=NO=IO=IK=4.

a. Menghitung IS:
Dalam segitiga ION, IO=4, NO=4, S adalah titik tengah NO, sehingga SO=2.
Jika kita perhatikan, ketiga rusuk yang membentuk segitiga ION (IO, NO, dan IN) semuanya memiliki panjang 4 cm. Jadi, segitiga ION adalah segitiga sama sisi.
Jika ION adalah segitiga sama sisi dengan sisi 4, maka IS adalah garis berat dari I ke sisi NO.
Dalam segitiga sama sisi, garis berat adalah tinggi. Tinggi segitiga sama sisi dengan sisi 'a' adalah (a*sqrt(3))/2.
IS = (4*sqrt(3))/2 = 2*sqrt(3) cm.

b. Menghitung KS:
Kita perlu K. Kita tahu KIN = 90, KI = 4, IN = 4. Maka KN = sqrt(KI^2 + IN^2) = sqrt(4^2 + 4^2) = 4*sqrt(2).

Sekarang kita punya segitiga KNS. Kita tahu KN = 4*sqrt(2).
Kita perlu NS dan sudut KNS atau SN.
S adalah titik tengah NO. NO = 4, jadi NS = 2.

Kita perlu sudut KNS.
Perhatikan segitiga ION. Karena sama sisi, semua sudutnya 60 derajat.
Sudut ION = Sudut INO = Sudut ION = 60 derajat.

Kita punya limas K.INO. IK=4, IN=4, IO=4, NO=4.
Sudut KIN = 90.

a. IS = 2*sqrt(3) (dari segitiga sama sisi ION).

b. Menghitung KS.
Kita perlu mencari posisi K relatif terhadap N dan S.
Kita punya segitiga KIN siku-siku di I. KI=4, IN=4.

Perhatikan segitiga KSN.
Kita tahu SN = 2.
Kita tahu KN = 4*sqrt(2).
Kita perlu sudut KSN atau panjang KS.

Mari kita gunakan koordinat lagi, tapi dengan cara yang lebih sederhana.
Misal N = (0,0,0).
Karena IN = 4, I bisa di (4,0,0).
Karena NO = 4, O bisa di (0,4,0) atau (0,-4,0) atau (0,0,4) dll. Tetapi kita tahu IO=4.
Jika N=(0,0,0), I=(4,0,0).
Jika IO=4 dan NO=4, maka O berada pada perpotongan dua bola, satu berpusat di I berjari-jari 4, satu berpusat di N berjari-jari 4.
(x-4)^2 + y^2 + z^2 = 16
x^2 + y^2 + z^2 = 16.
Substitusi kedua: x^2 + y^2 + z^2 = 16.
Substitusi pertama: (x^2 - 8x + 16) + y^2 + z^2 = 16.
16 - 8x + 16 = 16.
32 - 8x = 16.
8x = 16, x = 2.

Substitusikan x=2 ke x^2 + y^2 + z^2 = 16:
4 + y^2 + z^2 = 16
y^2 + z^2 = 12.

Jadi, O bisa berada di mana saja pada lingkaran dengan jari-jari sqrt(12) = 2*sqrt(3) di bidang yz, berpusat di (2,0,0).
Namun, kita tahu NO = 4.
Jika N=(0,0,0), maka jarak O ke N adalah 4. Ini bertentangan dengan O berada pada lingkaran y^2+z^2=12.

Mari kita coba asumsi bahwa segitiga ION adalah sama sisi karena IO=NO=IN=4.
Jika demikian, IS adalah tinggi segitiga sama sisi, IS = 2*sqrt(3).

Untuk KS:
Kita punya segitiga KSN. SN=2. KN = 4*sqrt(2).
Kita perlu sudut KSN atau KS.

Jika ION adalah segitiga sama sisi, maka sudut INO = 60 derajat.

Perhatikan segitiga KIN. KIN siku-siku di I, KI=4, IN=4.

Mari kita gunakan teorema Pythagoras pada bidang yang relevan.
Kita perlu KS.
Perhatikan bidang KSON. Atau KNS.

Kita punya KN = 4*sqrt(2), SN = 2.
Untuk mencari KS, kita perlu sudut KNS.

Dalam segitiga ION (sama sisi), sudut INO = 60.

Kita punya limas K.INO. KIN = 90.
IK=4, IN=4, IO=4, NO=4.

Untuk menghitung KS, kita bisa melihat segitiga KSN.
SN = 2.
KN = 4*sqrt(2).
Kita perlu sudut KNS atau sisi KS.

Jika kita menganggap bidang ION berada pada bidang xy, dan N di (0,0,0).
Karena ION sama sisi, O di (4,0,0).
S di (2,0,0).
I di (2, 2*sqrt(3), 0).

Sekarang K. Sudut KIN = 90. KI = 4.
Vektor IN = O - N = (4,0,0).
Vektor KI tegak lurus IN, dan panjangnya 4.
Jika IN searah sumbu x, maka KI harus searah sumbu y atau z.
Vektor KI = (0,4,0) atau (0,-4,0) atau (0,0,4) atau (0,0,-4).

Jika K = I + KI.
Jika KI = (0,4,0):
K = (2, 2*sqrt(3), 0) + (0,4,0) = (2, 4 + 2*sqrt(3), 0).

Sekarang hitung KS.
S = (2,0,0).
KS^2 = (2-2)^2 + (4 + 2*sqrt(3) - 0)^2 + (0-0)^2
KS^2 = 0 + (4 + 2*sqrt(3))^2 + 0
KS^2 = 16 + 16*sqrt(3) + 12 = 28 + 16*sqrt(3).
KS = sqrt(28 + 16*sqrt(3)).

Ini tidak sesuai dengan asumsi awal bahwa ION sama sisi.

Mari kita kembali ke asumsi bahwa IO=4, NO=4, IN=4, IK=4 dan KIN=90.

a. IS = 2*sqrt(3) cm (dari segitiga ION dengan IO=4, NO=4, IN=4).

b. Menghitung KS.
Perhatikan segitiga KNS. SN = 2. KN = 4*sqrt(2).
Kita perlu sudut KNS.

Jika kita memproyeksikan K ke bidang ION, mari kita sebut P.

Jika kita menggunakan koordinat awal:
O = (0,0,0)
N = (4,0,0)
S = (2,0,0)
I = (2, 2*sqrt(3), 0)

Ini berdasarkan IO=4, NO=4, IN=4. (Jarak IO = sqrt(2^2 + (2*sqrt(3))^2) = sqrt(4+12) = 4. Jarak NO = 4. Jarak IN = sqrt((4-2)^2 + (0-2*sqrt(3))^2) = sqrt(4+12) = 4).
Jadi, ION memang segitiga sama sisi.

Sekarang K. Sudut KIN = 90. KI = 4.
Vektor IN = N-I = (4-2, 0-2*sqrt(3), 0) = (2, -2*sqrt(3), 0).
VEktor KI tegak lurus IN, panjang 4.
Vektor tegak lurus IN adalah (2*sqrt(3), 2, 0) atau (-2*sqrt(3), -2, 0).
Kita perlu vektor tegak lurus yang panjangnya 4.
Panjang (2*sqrt(3), 2, 0) = sqrt(12+4) = 4.
Panjang (-2*sqrt(3), -2, 0) = sqrt(12+4) = 4.

Jika vektor KI = (2*sqrt(3), 2, 0):
K = I + KI = (2, 2*sqrt(3), 0) + (2*sqrt(3), 2, 0) = (2 + 2*sqrt(3), 2*sqrt(3) + 2, 0).
Ini berarti K berada di bidang ION, yang tidak mungkin untuk sebuah bidang empat.

Sepertinya ada kekeliruan dalam penempatan koordinat jika K.INO adalah bidang empat.

Jika K.INO adalah bidang empat, maka K bukan di bidang ION.

Mari kita coba sudut.
ION adalah segitiga sama sisi, jadi sudut KIN = 90.

Kita punya segitiga KIN, siku-siku di I, KI=4, IN=4.
Kita punya segitiga ION, sama sisi, IO=4, NO=4, IN=4.

a. IS = 2*sqrt(3).

b. Menghitung KS.
Kita perlu segitiga KSN. SN = 2.
Kita perlu KN atau sudut.
KN = 4*sqrt(2).

Perhatikan bidang yang dibentuk oleh K, I, N.
Kita punya segitiga KIN, siku-siku di I.

Jika kita membayangkan K berada di atas bidang ION.

Asumsikan ION adalah alas.
Jika ION sama sisi, maka titik berat (centroid) berada di tengah garis berat. IS adalah garis berat, jadi titik berat O' berada pada IS.
Jarak dari I ke O' = (2/3) * IS = (2/3) * 2*sqrt(3) = 4*sqrt(3)/3.
Jarak dari S ke O' = (1/3) * IS = (1/3) * 2*sqrt(3) = 2*sqrt(3)/3.

Jika kita menempatkan O' di (0,0,0).
I = (0, 4*sqrt(3)/3, 0).
S = (0, -2*sqrt(3)/3, 0).

K harus berada di atas O'. Jarak KO' = h (tinggi limas).

Namun, kita punya sudut KIN = 90.
Ini adalah informasi kunci.

Dalam segitiga KIN, KI=4, IN=4.
Jika kita membayangkan K berada di atas I, tegak lurus IN.

Coba lagi dengan koordinat.
N = (0,0,0).
I = (4,0,0).
Karena KIN = 90, K bisa di (4,y,z) dengan y^2+z^2 = 4^2 = 16. Dan vektor KI tegak lurus IN. Vektor IN = (4,0,0).
Vektor KI = (0,y,z).
(0,y,z) tegak lurus (4,0,0) selalu benar.
Jadi K = (4, y, z) dengan y^2 + z^2 = 16.

Sekarang O. NO=4, IO=4.
Jarak O ke N(0,0,0) adalah 4. O = (a,b,c) dengan a^2+b^2+c^2 = 16.
Jarak O ke I(4,0,0) adalah 4. (a-4)^2 + b^2 + c^2 = 16.
a^2 - 8a + 16 + b^2 + c^2 = 16.
Karena a^2+b^2+c^2 = 16:
16 - 8a + 16 = 16.
32 - 8a = 16.
8a = 16, a = 2.

Jadi, O = (2, b, c) dengan 2^2 + b^2 + c^2 = 16, sehingga 4 + b^2 + c^2 = 16, b^2 + c^2 = 12.

S adalah titik tengah NO. N=(0,0,0), O=(2,b,c). S = (1, b/2, c/2).

a. Hitung IS.
I = (4,0,0).
S = (1, b/2, c/2).
IS^2 = (4-1)^2 + (0 - b/2)^2 + (0 - c/2)^2
IS^2 = 3^2 + b^2/4 + c^2/4
IS^2 = 9 + (b^2+c^2)/4.
Karena b^2+c^2 = 12:
IS^2 = 9 + 12/4
IS^2 = 9 + 3 = 12.
IS = sqrt(12) = 2*sqrt(3) cm.

Ini cocok dengan perhitungan sebelumnya dengan asumsi ION sama sisi.

b. Hitung KS.
K = (4, y, z) dengan y^2 + z^2 = 16.
S = (1, b/2, c/2).
KS^2 = (4-1)^2 + (y - b/2)^2 + (z - c/2)^2
KS^2 = 3^2 + (y - b/2)^2 + (z - c/2)^2
KS^2 = 9 + y^2 - by + b^2/4 + z^2 - cz + c^2/4
KS^2 = 9 + (y^2 + z^2) - by - cz + (b^2+c^2)/4.
Karena y^2 + z^2 = 16 dan b^2 + c^2 = 12:
KS^2 = 9 + 16 - by - cz + 12/4
KS^2 = 9 + 16 - by - cz + 3
KS^2 = 28 - by - cz.

Kita perlu nilai y, z, b, c.

Jika kita kembali ke K.INO, KIN = 90.
IK=4, IN=4. Maka KN = 4*sqrt(2).
S adalah titik tengah NO. NO=4, jadi NS=2.
Kita punya segitiga KNS.
Kita perlu sudut KNS.

Jika kita memproyeksikan K pada bidang ION, mari kita sebut titik P.

Perhatikan segitiga KIN, siku-siku di I. KI=4, IN=4.
Perhatikan segitiga ION, IO=4, NO=4, IN=4 (sama sisi).

Untuk KS, kita bisa menggunakan segitiga KNS.
SN = 2.
KN = 4*sqrt(2).

Untuk sudut KNS, kita perlu informasi tentang bagaimana K berada relatif terhadap N.

Jika kita menganggap ION sebagai alas, dan K adalah puncak limas.
Sudut KIN = 90.

Mari kita coba Teorema Proyeksi.

Kita punya IS = 2*sqrt(3).

b. KS:
Perhatikan segitiga KSN. SN=2. KN=4*sqrt(2).
Kita butuh sudut KNS.
Dalam segitiga ION (sama sisi), sudut INO = 60 derajat.

Jika kita membayangkan bidang ION, dan K berada di atasnya.
Jika IN adalah garis, dan K berada 90 derajat dari IN, dan jaraknya 4.

Jika kita melihat dari titik N.
Kita melihat I sejauh 4.
Kita melihat O sejauh 4.
Kita melihat K sejauh 4*sqrt(2).

Kita tahu IN = 4, NO = 4, IO = 4.
Dan KIN = 90.

Mari kita gunakan cosinus pada segitiga KSN.
KS^2 = KN^2 + SN^2 - 2 * KN * SN * cos(S
KN )
KS^2 = (4*sqrt(2))^2 + 2^2 - 2 * (4*sqrt(2)) * 2 * cos(KNS)
KS^2 = 32 + 4 - 16*sqrt(2) * cos(KNS)
KS^2 = 36 - 16*sqrt(2) * cos(KNS).

Kita perlu cos(KNS).
Ini adalah cosinus sudut antara vektor NK dan vektor NS.

Jika N=(0,0,0), I=(4,0,0). K=(4, y, z) dengan y^2+z^2=16.
O=(2, b, c) dengan b^2+c^2=12.
S=(1, b/2, c/2).

Vector NK = (4,y,z).
Vector NS = (1, b/2, c/2).

NK . NS = |NK| |NS| cos(KNS)
(4)(1) + (y)(b/2) + (z)(c/2) = (4*sqrt(2)) * 2 * cos(KNS)
4 + by/2 + cz/2 = 8*sqrt(2) * cos(KNS).

Kita masih punya variabel bebas.

Mari kita pertimbangkan simetri.
Jika ION adalah segitiga sama sisi, maka titik K harus simetris terhadap bidang yang memotong ION.

Jika kita memproyeksikan K pada bidang ION, mari kita sebut P.

Jika KIN = 90, KI=4, IN=4. Maka K adalah puncak dari persegi jika kita melihat dari I ke N.

Kita punya IS = 2*sqrt(3).

b. KS:
Perhatikan segitiga KSN. SN=2. KN=4*sqrt(2).
Kita perlu sudut KNS.

Jika kita membayangkan dari titik N.
Kita melihat I pada jarak 4.
Kita melihat O pada jarak 4.
Kita melihat K pada jarak 4*sqrt(2).

Jika IN = 4, NO = 4, IO = 4 (sama sisi).
Jika KIN = 90.

Bayangkan segitiga ION. Buat titik K sedemikian rupa sehingga KIN=90.

Jika kita melihat segitiga KIN, dan segitiga ION.

Perhatikan segitiga KOS.

Kita tahu IS = 2*sqrt(3).

b. KS:
Kita perlu K. Sudut KIN = 90.

Jika kita menggunakan sisi-sisi:
KN = 4*sqrt(2).
SN = 2.

Coba lihat segitiga KNS.

Jika kita memproyeksikan K pada garis NO, sebut T.

Perhatikan lagi koordinat:
N = (0,0,0).
I = (4,0,0).
K = (4, y, z) dengan y^2 + z^2 = 16.
O = (2, b, c) dengan b^2 + c^2 = 12.
S = (1, b/2, c/2).

Kita perlu KS.
KS^2 = 28 - by - cz.

Kita perlu menentukan y,z,b,c.
Jika kita memilih O = (2, 2*sqrt(3), 0), maka b = 2*sqrt(3), c = 0. (b^2+c^2 = 12). Ini berarti O berada di bidang xy.
N=(0,0,0), I=(4,0,0).
O=(2, 2*sqrt(3), 0).
S=(1, sqrt(3), 0).
ION adalah segitiga sama sisi di bidang xy.

Sekarang K = (4, y, z) dengan y^2 + z^2 = 16.
K must be out of the plane ION.

Jika K = (4, 0, 4), maka y=0, z=4. y^2+z^2 = 16. OK.
K = (4,0,4).
S = (1, sqrt(3), 0).
KS^2 = (4-1)^2 + (0 - sqrt(3))^2 + (4-0)^2
KS^2 = 3^2 + (-sqrt(3))^2 + 4^2
KS^2 = 9 + 3 + 16 = 28.
KS = sqrt(28) = 2*sqrt(7).

Mari kita cek apakah KIN = 90.
N=(0,0,0), I=(4,0,0), K=(4,0,4).
Vector IN = (4,0,0).
Vector IK = (4-4, 0-0, 4-0) = (0,0,4).
IK . IN = (0)(4) + (0)(0) + (4)(0) = 0. So KIN = 90.

Dan IN=4, KI=4. OK.

Jadi, K = (4,0,4).
S = (1, sqrt(3), 0).

a. IS = 2*sqrt(3).

b. KS = 2*sqrt(7).

Jawaban:
a. IS = 2√3 cm
b. KS = 2√7 cm