Jika a+b=2 dan a^3+b^3=38 Carilah nilai a dan b.

Nilai a dan b adalah 1 + sqrt(6) dan 1 - sqrt(6).

Pembahasan

Diketahui:
a + b = 2
a^3 + b^3 = 38

Kita tahu identitas aljabar:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Substitusikan nilai yang diketahui:
38 = (2)(a^2 - ab + b^2)

Bagi kedua sisi dengan 2:
19 = a^2 - ab + b^2

Kita juga tahu identitas:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Substitusikan nilai a + b:
(2)^2 = a^2 + 2ab + b^2
4 = a^2 + 2ab + b^2

Sekarang kita punya dua persamaan:
1) a^2 - ab + b^2 = 19
2) a^2 + 2ab + b^2 = 4

Kurangkan persamaan (1) dari persamaan (2):
(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - ab + b^2) = 4 - 19
a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + ab - b^2 = -15
3ab = -15

Bagi kedua sisi dengan 3:
ab = -5

Sekarang kita punya sistem persamaan:
a + b = 2
ab = -5

Dari persamaan pertama, kita bisa nyatakan b = 2 - a.
Substitusikan ke persamaan kedua:
a(2 - a) = -5
2a - a^2 = -5

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
a^2 - 2a - 5 = 0

Gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai a:
a = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, A=1, B=-2, C=-5

a = [ -(-2) ± sqrt((-2)^2 - 4(1)(-5)) ] / 2(1)
a = [ 2 ± sqrt(4 + 20) ] / 2
a = [ 2 ± sqrt(24) ] / 2
a = [ 2 ± 2*sqrt(6) ] / 2
a = 1 ± sqrt(6)

Jika a = 1 + sqrt(6), maka b = 2 - a = 2 - (1 + sqrt(6)) = 1 - sqrt(6)
Jika a = 1 - sqrt(6), maka b = 2 - a = 2 - (1 - sqrt(6)) = 1 + sqrt(6)

Jadi, nilai a dan b adalah 1 + sqrt(6) dan 1 - sqrt(6) (atau sebaliknya).