Kelas 10Kelas 12Kelas 11mathAljabar
Jika (a,b,c) merupakan penyelesaian dari SPLTV: 3x+7y+2z=8
Pertanyaan
Jika (a,b,c) merupakan penyelesaian dari SPLTV: 3x+7y+2z=8, 6y-4z=14, dan 4x+2y-5z=-19, maka nilai (a,b,c) adalah ...
Solusi
Verified
(-5, 3, 1)
Pembahasan
Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) tersebut, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Metode Eliminasi: 1. Kalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 7 untuk mengeliminasi variabel y dari kedua persamaan: (3x+7y+2z=8) * 2 => 6x + 14y + 4z = 16 (6y-4z=14) * 7 => 42y - 28z = 98 Ini tidak membantu mengeliminasi y secara langsung antar persamaan pertama dan kedua. Mari kita gunakan metode lain yang lebih sistematis: Persamaan yang diberikan: (1) 3x + 7y + 2z = 8 (2) 6y - 4z = 14 => Sederhanakan menjadi 3y - 2z = 7 (3) 4x + 2y - 5z = -19 Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel dari dua persamaan. Mari kita eliminasi z dari persamaan (1) dan (2). Kalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 1: (3x + 7y + 2z = 8) * 2 => 6x + 14y + 4z = 16 (3y - 2z = 7) * 1 => 3y - 2z = 7 Jumlahkan kedua persamaan tersebut: 6x + 17y = 23 (Persamaan 4) Langkah 2: Eliminasi variabel yang sama dari pasangan persamaan lain. Sekarang, mari kita eliminasi z dari persamaan (1) dan (3). Kalikan persamaan (1) dengan 5 dan persamaan (3) dengan 2: (3x + 7y + 2z = 8) * 5 => 15x + 35y + 10z = 40 (4x + 2y - 5z = -19) * 2 => 8x + 4y - 10z = -38 Jumlahkan kedua persamaan tersebut: 23x + 39y = 2 (Persamaan 5) Langkah 3: Selesaikan SPLDV dari Persamaan (4) dan (5). Kita punya: (4) 6x + 17y = 23 (5) 23x + 39y = 2 Kalikan persamaan (4) dengan 23 dan persamaan (5) dengan 6: (6x + 17y = 23) * 23 => 138x + 391y = 529 (23x + 39y = 2) * 6 => 138x + 234y = 12 Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: (138x + 391y) - (138x + 234y) = 529 - 12 157y = 517 y = 517 / 157 = 3.3 Substitusikan nilai y ke Persamaan (4): 6x + 17(3.3) = 23 6x + 56.1 = 23 6x = 23 - 56.1 6x = -33.1 x = -33.1 / 6 = -5.5167 Langkah 4: Substitusikan nilai x dan y ke salah satu persamaan awal untuk mencari z. Mari gunakan persamaan (2) yang disederhanakan: 3y - 2z = 7 3(3.3) - 2z = 7 9.9 - 2z = 7 -2z = 7 - 9.9 -2z = -2.9 z = -2.9 / -2 = 1.45 Jadi, solusi (a,b,c) adalah (-5.5167, 3.3, 1.45). Namun, jika kita berasumsi bahwa soal ini dirancang untuk memiliki solusi bilangan bulat atau rasional yang lebih sederhana, ada kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau dalam perhitungan saya. Mari kita cek kembali perhitungannya. Re-evaluasi dengan asumsi soal memiliki solusi yang lebih 'bersih'. Persamaan: (1) 3x + 7y + 2z = 8 (2) 6y - 4z = 14 => 3y - 2z = 7 (3) 4x + 2y - 5z = -19 Dari (2), 2z = 3y - 7, maka z = (3y - 7)/2 Substitusi ke (1): 3x + 7y + (3y - 7) = 8 3x + 10y - 7 = 8 3x + 10y = 15 (Persamaan 4) Substitusi ke (3): 4x + 2y - 5((3y - 7)/2) = -19 Kalikan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan: 8x + 4y - 5(3y - 7) = -38 8x + 4y - 15y + 35 = -38 8x - 11y = -38 - 35 8x - 11y = -73 (Persamaan 5) Sekarang kita punya SPLDV: (4) 3x + 10y = 15 (5) 8x - 11y = -73 Kalikan (4) dengan 8 dan (5) dengan 3: (3x + 10y = 15) * 8 => 24x + 80y = 120 (8x - 11y = -73) * 3 => 24x - 33y = -219 Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: (24x + 80y) - (24x - 33y) = 120 - (-219) 80y + 33y = 120 + 219 113y = 339 y = 339 / 113 = 3 Substitusi y = 3 ke Persamaan (4): 3x + 10(3) = 15 3x + 30 = 15 3x = 15 - 30 3x = -15 x = -5 Substitusi x = -5 dan y = 3 ke persamaan z = (3y - 7)/2: z = (3(3) - 7)/2 z = (9 - 7)/2 z = 2/2 z = 1 Jadi, penyelesaian (a,b,c) adalah (-5, 3, 1). Jawaban singkatnya adalah (-5, 3, 1).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Section: Metode Penyelesaian Spltv
Apakah jawaban ini membantu?