Jika cotan theta=1/akar(3), maka nilai dari

Jika cotan theta = 1/√3, nilai dari (1-cos²(theta))/(2-sin²(theta)) adalah 3/5.

Pembahasan

Diketahui cotan theta = 1/√3.
Kita perlu mencari nilai dari (1 - cos²(theta)) / (2 - sin²(theta)).

Pertama, kita tentukan nilai sin(theta) dan cos(theta) dari cotan theta.
Ingat bahwa cotan theta = cos(theta) / sin(theta).
Jika cotan theta = 1/√3, ini berarti cos(theta) = 1 dan sin(theta) = √3, atau kelipatannya. Namun, ini tidak sesuai dengan identitas dasar sin²(theta) + cos²(theta) = 1.

Cara yang lebih baik adalah mengenali bahwa nilai cotan theta = 1/√3 sesuai dengan sudut istimewa. Dalam kuadran pertama, cotan theta = 1/√3 ketika theta = 60° atau π/3 radian.

Untuk theta = 60°:
cos(60°) = 1/2
sin(60°) = √3/2

Sekarang kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi yang diberikan:
(1 - cos²(theta)) / (2 - sin²(theta))
= (1 - (1/2)²) / (2 - (√3/2)²)
= (1 - 1/4) / (2 - 3/4)

Hitung pembilang:
1 - 1/4 = 4/4 - 1/4 = 3/4

Hitung penyebut:
2 - 3/4 = 8/4 - 3/4 = 5/4

Sekarang bagi pembilang dengan penyebut:
(3/4) / (5/4) = (3/4) * (4/5)
= 3/5

Alternatif lain, kita bisa menggunakan identitas trigonometri:
1 - cos²(theta) = sin²(theta)
2 - sin²(theta) = 2 - (1 - cos²(theta)) = 1 + cos²(theta)

Jadi, ekspresi menjadi:
sin²(theta) / (1 + cos²(theta))

Karena cotan theta = 1/√3, kita dapat membuat segitiga siku-siku di mana sisi samping adalah 1 dan sisi depan adalah √3. Sisi miring (hipotenusa) dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: sisi miring² = 1² + (√3)² = 1 + 3 = 4. Jadi, sisi miring = √4 = 2.
Dari segitiga ini:
sin(theta) = sisi depan / sisi miring = √3 / 2
cos(theta) = sisi samping / sisi miring = 1 / 2

Substitusikan kembali:
((√3/2)²) / (1 + (1/2)²)
= (3/4) / (1 + 1/4)
= (3/4) / (5/4)
= 3/5

Jadi, nilai dari (1-cos²(theta))/(2-sin²(theta)) adalah 3/5.