Jika diketahui sistem persamaan6p - 5q = 4 p - q - 4r = 5

Sistem persamaan tersebut memiliki tak hingga banyak penyelesaian.

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan linear:
1) 6p - 5q = 4
2) p - q - 4r = 5

Sistem ini memiliki 3 variabel (p, q, r) tetapi hanya 2 persamaan. Untuk menentukan banyaknya penyelesaian, kita bisa menganalisis rank dari matriks koefisien dan matriks augmented.

Matriks Koefisien (A):
[[6, -5, 0]
 [1, -1, -4]]

Matriks Augmented (A|b):
[[6, -5, 0 | 4]
 [1, -1, -4 | 5]]

Rank dari matriks koefisien (A) adalah 2, karena ada dua baris yang independen linear (baris pertama tidak bisa didapatkan dari baris kedua hanya dengan perkalian skalar).

Sekarang kita periksa rank dari matriks augmented. Kita bisa melakukan operasi baris untuk menyederhanakannya.
Tukar baris 1 dan baris 2:
[[1, -1, -4 | 5]
 [6, -5, 0 | 4]]

Kurangi baris 2 dengan 6 kali baris 1 (R2 = R2 - 6*R1):
[[1, -1, -4 | 5]
 [0, 1, 24 | -26]]

Rank dari matriks augmented juga adalah 2, karena ada dua baris non-nol yang independen linear.

Karena rank(A) = rank(A|b) = 2, dan jumlah variabel adalah 3, maka sistem ini memiliki tak hingga banyak penyelesaian. Ini karena kita memiliki dua persamaan yang independen untuk tiga variabel, sehingga kita bisa mengekspresikan dua variabel dalam bentuk variabel ketiga (yang bisa berupa parameter).

Secara umum, jika jumlah variabel (n) lebih besar dari rank matriks koefisien (r), dan rank(A) = rank(A|b), maka ada tak hingga banyak penyelesaian. Di sini, n=3 dan r=2.