Jika f(n) menyatakan banyak faktor bilangan asli n,

3

Pembahasan

Diketahui f(n) menyatakan banyak faktor bilangan asli n.
Kita perlu mencari nilai f(f(f(2009))). 

Langkah 1: Cari faktor dari 2009.
Untuk mencari faktor dari 2009, kita coba membaginya dengan bilangan prima:
2009 tidak habis dibagi 2, 3, 5.
Coba bagi dengan 7: 2009 / 7 = 287.
Sekarang kita cari faktor dari 287.
287 tidak habis dibagi 7.
Coba bagi dengan 11, 13.
Coba bagi dengan 17: 287 / 17 = 16.88...
Coba bagi dengan 19: 287 / 19 = 15.1...
Coba bagi dengan 23: 287 / 23 = 12.47...
Coba bagi dengan 29: 287 / 29 = 9.89...
Coba bagi dengan 31: 287 / 31 = 9.25...
Coba bagi dengan bilangan prima selanjutnya. 
Kita kembali ke 287. Coba lagi 287 / 7 = 41. Ternyata 41 adalah bilangan prima. 
Jadi, faktorisasi prima dari 2009 adalah 7 * 7 * 41 = 7^2 * 41^1.

Langkah 2: Hitung f(2009).
Banyak faktor dari bilangan n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak adalah (a1+1)(a2+1)...(ak+1).
Untuk 2009 = 7^2 * 41^1, banyak faktornya adalah f(2009) = (2+1)(1+1) = 3 * 2 = 6.

Langkah 3: Hitung f(f(2009)), yaitu f(6).
Faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, 6. Jadi, ada 4 faktor.
f(6) = 4.

Langkah 4: Hitung f(f(f(2009))), yaitu f(4).
Faktor dari 4 adalah 1, 2, 4. Jadi, ada 3 faktor.
f(4) = 3.

Jadi, nilai f(f(f(2009))) adalah 3.