Jika f(X)=1-cos x dan g(x)=2x sin x, nilai limit x->0

Nilai limitnya adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ di mana $f(x) = 1 - \cos x$ dan $g(x) = 2x \sin x$, kita bisa menggunakan substitusi langsung terlebih dahulu.

Jika kita substitusikan $x=0$ ke dalam fungsi, kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{1 - \cos 0}{2(0) \sin 0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$.

Karena menghasilkan bentuk tak tentu, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar dengan identitas trigonometri.

Menggunakan aturan L'Hopital:
Kita turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan dari $f(x) = 1 - \cos x$ adalah $f'(x) = \sin x$.
Turunan dari $g(x) = 2x \sin x$ adalah $g'(x) = 2 \sin x + 2x \cos x$ (menggunakan aturan perkalian).

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \sin x + 2x \cos x}$

Substitusikan kembali $x=0$:
$\frac{\sin 0}{2 \sin 0 + 2(0) \cos 0} = \frac{0}{2(0) + 0} = \frac{0}{0}$

Karena masih dalam bentuk tak tentu, kita gunakan L'Hopital lagi:
Turunan dari $\sin x$ adalah $\cos x$.
Turunan dari $2 \sin x + 2x \cos x$ adalah $2 \cos x + (2 \cos x - 2x \sin x) = 4 \cos x - 2x \sin x$.

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{4 \cos x - 2x \sin x}$

Substitusikan $x=0$:
$\frac{\cos 0}{4 \cos 0 - 2(0) \sin 0} = \frac{1}{4(1) - 0} = \frac{1}{4}$

Alternatif menggunakan manipulasi aljabar:
Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
Kita bisa menulis ulang fungsi sebagai:
$\frac{1 - \cos x}{2x \sin x} = \frac{1 - \cos x}{2x^2} \cdot \frac{x}{\sin x}$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Maka:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$

Mari kita periksa kembali perhitungan L'Hopital.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \sin x + 2x \cos x}$
L'Hopital kedua:
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2 \cos x + 2 \cos x - 2x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{4 \cos x - 2x \sin x} = \frac{\cos 0}{4 \cos 0 - 0} = \frac{1}{4}$.

Ada kesalahan pada manipulasi aljabar.
Kita gunakan identitas $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$.
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{2x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{x \sin x}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(\frac{\sin(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})})^2 \cdot (\frac{x}{2})^2}{x \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot x}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1^2 \cdot \frac{x^2}{4}}{x \cdot 1 \cdot x}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{4}}{x^2} = \frac{1}{4}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{1}{4}$