Jika f(x^2-2x-1)=x dan g(x)=x+4, maka (g o f^-1)(x)=...

Nilai (g o f^-1)(x) adalah 5 ± sqrt(2+x).

Pembahasan

Untuk mencari (g o f^-1)(x), pertama-tama kita perlu mencari invers dari fungsi f(x). Diketahui f(x^2-2x-1)=x. Misalkan y = x^2-2x-1. Kita perlu mencari x dalam bentuk y. Persamaan kuadrat x^2-2x-(1+y)=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus abc: x = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a. Dalam kasus ini, a=1, b=-2, c=-(1+y). Maka, x = [2 ± sqrt((-2)^2 - 4(1)(-(1+y)))] / 2(1) = [2 ± sqrt(4 + 4 + 4y)] / 2 = [2 ± sqrt(8 + 4y)] / 2 = [2 ± 2*sqrt(2 + y)] / 2 = 1 ± sqrt(2 + y). Karena f(x^2-2x-1) = x, maka f^-1(x) = 1 ± sqrt(2+x). Sekarang kita akan mencari (g o f^-1)(x), yang berarti g(f^-1(x)). Diketahui g(x) = x+4. Maka, g(f^-1(x)) = f^-1(x) + 4 = (1 ± sqrt(2+x)) + 4 = 5 ± sqrt(2+x). Namun, perlu diperhatikan domain dan kodomain dari fungsi invers. Jika kita memilih salah satu cabang dari f^-1(x), misalnya f^-1(x) = 1 + sqrt(2+x), maka (g o f^-1)(x) = 1 + sqrt(2+x) + 4 = 5 + sqrt(2+x). Jika kita memilih f^-1(x) = 1 - sqrt(2+x), maka (g o f^-1)(x) = 1 - sqrt(2+x) + 4 = 5 - sqrt(2+x). Tanpa informasi tambahan mengenai domain dari f(x), kedua jawaban ini valid. Namun, jika diasumsikan f(x) memiliki domain yang membuatnya memiliki invers tunggal, kita perlu informasi lebih lanjut.