Tentukan nilai limit dari fungsi trigonometri berikut inil

3/2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi trigonometri $\lim_{x \to -2} \frac{\tan(6x+12)}{4x+8}$, kita dapat menggunakan substitusi langsung atau manipulasi aljabar.

Jika kita substitusi $x = -2$ secara langsung:
Pembilang: $\tan(6(-2)+12) = \tan(-12+12) = \tan(0) = 0$
Penyebut: $4(-2)+8 = -8+8 = 0$

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri atau aturan L'Hôpital.

Cara 1: Menggunakan manipulasi aljabar dan identitas limit $\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$.

Kita ubah bentuk penyebut agar sesuai dengan argumen fungsi tangen di pembilang.
Misalkan $u = 6x+12$. Ketika $x \to -2$, maka $u \to 6(-2)+12 = 0$.
Dari $u = 6x+12$, kita dapatkan $x = \frac{u-12}{6}$.
Substitusikan ke dalam penyebut:
$4x+8 = 4(\frac{u-12}{6}) + 8 = \frac{4u - 48}{6} + 8 = \frac{2u - 24}{3} + \frac{24}{3} = \frac{2u}{3}$

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{\frac{2u}{3}} = \lim_{u \to 0} \frac{3}{2} \frac{\tan u}{u}$
Kita tahu bahwa $\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$.
$\frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$

Cara 2: Menggunakan aturan L'Hôpital.
Karena substitusi langsung menghasilkan $\frac{0}{0}$, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan pembilang $(\tan(6x+12))$ adalah $6 \sec^2(6x+12)$.
Turunan penyebut $(4x+8)$ adalah $4$.

Sekarang, kita hitung limitnya:
$\lim_{x \to -2} \frac{6 \sec^2(6x+12)}{4}$
Substitusikan $x = -2$:
$\frac{6 \sec^2(6(-2)+12)}{4} = \frac{6 \sec^2(0)}{4}$
Kita tahu bahwa $\sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$.
$\frac{6 (1)^2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Jadi, nilai limit dari fungsi trigonometri tersebut adalah $\frac{3}{2}$.