Jika f(x)=3x^2+2x+1, tentukan limit x->2 [f(x)-f(2)]/(x-2)

14

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung nilai limit dari suatu fungsi ketika x mendekati 2. Fungsi yang diberikan adalah f(x) = 3x^2 + 2x + 1.

Kita perlu mencari nilai dari:
lim (x->2) [f(x) - f(2)] / (x - 2)

Ini adalah definisi dari turunan pertama fungsi f(x) di titik x=2, yaitu f'(2).

Langkah 1: Cari nilai f(2).
Substitusikan x = 2 ke dalam fungsi f(x):
f(2) = 3(2)^2 + 2(2) + 1
f(2) = 3(4) + 4 + 1
f(2) = 12 + 4 + 1
f(2) = 17

Langkah 2: Substitusikan f(x) dan f(2) ke dalam ekspresi limit.
lim (x->2) [ (3x^2 + 2x + 1) - 17 ] / (x - 2)
lim (x->2) [ 3x^2 + 2x - 16 ] / (x - 2)

Jika kita substitusikan x = 2 langsung ke dalam ekspresi ini, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 (karena 3(2)^2 + 2(2) - 16 = 12 + 4 - 16 = 0).
Ini mengkonfirmasi bahwa kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau faktorisasi.

Metode 1: Menggunakan faktorisasi.
Kita perlu memfaktorkan pembilang (3x^2 + 2x - 16). Karena kita tahu bahwa x = 2 adalah akar dari pembilang (karena menghasilkan 0), maka (x - 2) adalah salah satu faktornya.
Kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau mencoba mencari faktor lainnya.

3x^2 + 2x - 16 = (x - 2)(ax + b)
Dengan membandingkan koefisien:
Koefisien x^2: 3 = a
Konstanta: -16 = -2b  => b = 8

Jadi, 3x^2 + 2x - 16 = (x - 2)(3x + 8).

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
lim (x->2) [ (x - 2)(3x + 8) ] / (x - 2)

Kita bisa membatalkan faktor (x - 2) karena x mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2:
lim (x->2) (3x + 8)

Sekarang substitusikan x = 2:
3(2) + 8 = 6 + 8 = 14.

Metode 2: Menggunakan turunan (Aturan L'Hopital).
Karena limit menghasilkan bentuk 0/0, kita bisa mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah.

Turunan dari pembilang (3x^2 + 2x - 16) adalah 6x + 2.
Turunan dari penyebut (x - 2) adalah 1.

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->2) (6x + 2) / 1

Sekarang substitusikan x = 2:
(6(2) + 2) / 1 = (12 + 2) / 1 = 14.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, nilai limitnya adalah 14.