Sebuah tangki besar berbentuk tabung berisi 150.000 liter

a. Volume pada t=0 adalah 150.000 liter. b. Laju aliran keluar = 5.000(1 - t/60) liter/menit, v(t) = 150.000(1 - t/60)^2 liter. c. Aliran terbesar pada t=0, aliran terkecil pada t=60.

Pembahasan

Analisis soal tangki air menggunakan Hukum Torricelli:
Diketahui: Volume awal = 150.000 liter, waktu pengosongan = 1 jam (60 menit).
Rumus volume sisa: v(t) = 150.000(1 - t/60)^2, dengan 0 <= t <= 60. (Perlu diklarifikasi rumus v(t) pada soal, asumsi yang diberikan adalah v(t) = 150.000(1 - t/60)^2 berdasarkan konteks pengosongan tangki).

a. Tentukan lim t->0 v(t):
lim t->0 [150.000(1 - t/60)^2]
Substitusikan t=0:
150.000(1 - 0/60)^2 = 150.000(1 - 0)^2 = 150.000(1)^2 = 150.000 liter.
Ini adalah volume awal air di dalam tangki.

b. Tentukan laju aliran dan banyaknya air yang tersisa di dalam tangki.
Laju aliran adalah turunan pertama dari volume terhadap waktu, dv/dt.
Jika v(t) = 150.000(1 - t/60)^2:
Misalkan u = 1 - t/60. Maka du/dt = -1/60.
dv/dt = 150.000 * 2 * (1 - t/60)^1 * (-1/60)
dv/dt = -300.000/60 * (1 - t/60)
dv/dt = -5.000 * (1 - t/60)
Laju aliran (debit) adalah negatif dari turunan ini, karena volume berkurang. Laju aliran masuk = -dv/dt = 5.000(1 - t/60) liter/menit.
Banyaknya air yang tersisa di dalam tangki pada waktu t adalah v(t) = 150.000(1 - t/60)^2 liter.

c. Tentukan kapan waktu aliran paling besar dan paling kecil.
Aliran paling besar terjadi ketika laju aliran masuk (-dv/dt) paling besar. Ini terjadi ketika (1 - t/60) paling besar, yaitu ketika t paling kecil (t=0).
Pada t=0, laju aliran masuk = 5.000(1 - 0/60) = 5.000 liter/menit.
Aliran paling kecil terjadi ketika laju aliran masuk (-dv/dt) paling kecil. Ini terjadi ketika (1 - t/60) paling kecil, yaitu ketika t paling besar (t=60).
Pada t=60, laju aliran masuk = 5.000(1 - 60/60) = 5.000(1 - 1) = 5.000 * 0 = 0 liter/menit.

Jika rumus v(t) yang dimaksud adalah v(t) = 150.000(t-t/60)^t, ini adalah rumus yang tidak standar dan mungkin salah ketik. Dengan asumsi rumus yang benar adalah v(t) = 150.000(1 - t/60)^2:

a. Volume pada t=0 adalah 150.000 liter.
b. Laju aliran keluar adalah -dv/dt = 5.000(1 - t/60) liter/menit. Banyaknya air yang tersisa adalah v(t) = 150.000(1 - t/60)^2 liter.
c. Aliran paling besar pada t=0 (5.000 liter/menit), aliran paling kecil pada t=60 (0 liter/menit).