Jika f(x)=(akar(x^2-x)-x+2) , nilai limit x mendekati tak

Nilai limitnya adalah 3/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi f(x) = (akar(x^2-x)-x+2) saat x mendekati tak hingga, kita perlu menganalisis perilaku fungsi tersebut ketika x menjadi sangat besar.
Fungsi: f(x) = sqrt(x^2 - x) - x + 2
Kita akan fokus pada bagian sqrt(x^2 - x) - x. Untuk x yang sangat besar, x^2 - x akan didominasi oleh x^2. Jadi, sqrt(x^2 - x) akan mendekati sqrt(x^2), yaitu |x|. Karena x mendekati tak hingga (positif), |x| = x.
Sehingga, ekspresi tersebut menjadi mendekati x - x = 0.
Untuk lebih formal, kita bisa mengalikan dengan konjugatnya:
Limit x->inf (sqrt(x^2 - x) - x + 2)
= Limit x->inf (sqrt(x^2 - x) - x) + 2
Sekarang kita fokus pada bagian (sqrt(x^2 - x) - x):
= Limit x->inf [(sqrt(x^2 - x) - x) * (sqrt(x^2 - x) + x) / (sqrt(x^2 - x) + x)]
= Limit x->inf [(x^2 - x) - x^2] / [sqrt(x^2 - x) + x]
= Limit x->inf [-x] / [sqrt(x^2(1 - 1/x)) + x]
= Limit x->inf [-x] / [x * sqrt(1 - 1/x) + x]
= Limit x->inf [-x] / [x * (sqrt(1 - 1/x) + 1)]
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x:
= Limit x->inf [-1] / [sqrt(1 - 1/x) + 1]
Saat x mendekati tak hingga, 1/x mendekati 0.
= -1 / (sqrt(1 - 0) + 1)
= -1 / (sqrt(1) + 1)
= -1 / (1 + 1)
= -1 / 2
Jadi, limit dari f(x) saat x mendekati tak hingga adalah -1/2 + 2.
-1/2 + 2 = -1/2 + 4/2 = 3/2.
Nilai limit x mendekati tak hingga f(x) adalah 3/2.