Jika f(x)=x^3-9x^2-12x+20, maka tentukan: a. akar-akarnya,

Akar-akarnya adalah 1, 10, dan -2. Jumlah akar-akarnya adalah 9. Hasil kali akar-akarnya adalah -20.

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar dari fungsi f(x)=x^3-9x^2-12x+20, kita perlu mencari nilai-nilai x yang membuat f(x) = 0. Ini adalah persamaan kubik.

a. Akar-akarnya:
Mencari akar-akar persamaan kubik secara manual bisa jadi rumit. Kita bisa menggunakan metode numerik atau faktorisasi jika memungkinkan.

Dengan mencoba beberapa nilai bulat yang merupakan faktor dari konstanta 20 (yaitu ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20):
Jika x = 1, f(1) = 1 - 9 - 12 + 20 = 0. Jadi, x=1 adalah salah satu akarnya.
Karena x=1 adalah akar, (x-1) adalah faktor dari f(x). Kita bisa melakukan pembagian polinomial:
(x^3 - 9x^2 - 12x + 20) / (x - 1) = x^2 - 8x - 20
Sekarang kita cari akar dari persamaan kuadrat x^2 - 8x - 20 = 0.
Faktorisasi: (x - 10)(x + 2) = 0
Jadi, akar-akarnya adalah x = 10 dan x = -2.
Akar-akar dari f(x) adalah 1, 10, dan -2.

b. Jumlah akar-akarnya:
Menurut Teorema Vieta untuk persamaan kubik ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, jumlah akar-akarnya adalah -b/a.
Dalam kasus ini, a=1, b=-9, c=-12, d=20.
Jumlah akar = -(-9)/1 = 9.
Verifikasi: 1 + 10 + (-2) = 11 - 2 = 9.

c. Hasil kali akar-akarnya:
Menurut Teorema Vieta, hasil kali akar-akarnya adalah -d/a.
Hasil kali akar = -(20)/1 = -20.
Verifikasi: 1 * 10 * (-2) = -20.