Jika (g^(-1)of^(-1))(x)=(x+5)/(3x-2) dan f(x)=x+1, maka

$g(x) = \frac{6-x}{3x-1}$

Pembahasan

Kita diberikan dua fungsi dan komposisinya. Diketahui $(g^{-1} \circ f^{-1})(x) = \frac{x+5}{3x-2}$ dan $f(x) = x+1$. Kita perlu mencari $g(x)$.

1.  Ingat sifat komposisi fungsi invers: $(g^{-1} \circ f^{-1})(x) = (f \circ g)^{-1}(x)$.
    Jadi, $(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x+5}{3x-2}$.

2.  Untuk mencari $g(x)$, kita perlu mencari invers dari $(f \circ g)^{-1}(x)$, yaitu $(f \circ g)(x)$.
    Jika $y = \frac{x+5}{3x-2}$, maka untuk mencari inversnya, kita tukar $x$ dan $y$, lalu selesaikan untuk $y$:
    $x = \frac{y+5}{3y-2}$
    $x(3y-2) = y+5$
    $3xy - 2x = y+5$
    $3xy - y = 2x+5$
    $y(3x-1) = 2x+5$
    $y = \frac{2x+5}{3x-1}$
    Jadi, $(f \circ g)(x) = \frac{2x+5}{3x-1}$.

3.  Sekarang kita tahu bahwa $f(g(x)) = \frac{2x+5}{3x-1}$. Kita juga tahu $f(x) = x+1$. Substitusikan $g(x)$ ke dalam $f(x)$:
    $f(g(x)) = g(x) + 1$

4.  Samakan kedua ekspresi untuk $f(g(x))$:
    $g(x) + 1 = \frac{2x+5}{3x-1}$

5.  Selesaikan untuk $g(x)$:
    $g(x) = \frac{2x+5}{3x-1} - 1$
    $g(x) = \frac{2x+5 - (3x-1)}{3x-1}$
    $g(x) = \frac{2x+5 - 3x+1}{3x-1}$
    $g(x) = \frac{-x+6}{3x-1}$

Jadi, $g(x) = \frac{6-x}{3x-1}$.