Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa

Terbukti benar menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Kita akan membuktikan pernyataan bahwa untuk setiap bilangan asli n, jumlah deret geometri $1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2^n)$ sama dengan $1 - (1/2)^n$. Kita akan menggunakan metode induksi matematika.

**Langkah 1: Basis Induksi (n=1)**
Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Sisi kiri: $1/2^1 = 1/2$
Sisi kanan: $1 - (1/2)^1 = 1 - 1/2 = 1/2$
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

**Langkah 2: Hipotesis Induksi**
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
$S_k = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^k}$

**Langkah 3: Langkah Induksi**
Buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1, yaitu:
$S_{k+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}} = 1 - \frac{1}{2^{k+1}}$

Kita mulai dari sisi kiri $S_{k+1}$:
$S_{k+1} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^k}) + \frac{1}{2^{k+1}}$

Berdasarkan hipotesis induksi, kita bisa mengganti bagian dalam kurung dengan $1 - \frac{1}{2^k}$:
$S_{k+1} = (1 - \frac{1}{2^k}) + \frac{1}{2^{k+1}}$

Sekarang, kita samakan penyebutnya:
$S_{k+1} = 1 - \frac{2}{2^{k+1}} + \frac{1}{2^{k+1}}$
$S_{k+1} = 1 + \frac{-2+1}{2^{k+1}}$
$S_{k+1} = 1 - \frac{1}{2^{k+1}}$

Ini sama dengan sisi kanan yang ingin kita buktikan.

**Kesimpulan:**
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 dan jika benar untuk n=k maka benar juga untuk n=k+1, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n} = 1 - (\frac{1}{2})^n$ benar untuk setiap bilangan asli n.