Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c mempunyai

Grafik memiliki nilai maksimum.

Pembahasan

Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c dengan titik puncak (8, 4) berarti nilai x = 8 adalah sumbu simetri dan nilai y = 4 adalah nilai ekstrim (maksimum atau minimum).
Karena titik puncak berada di (8, 4), maka sumbu simetrinya adalah x = 8. Ini berarti -b/(2a) = 8, atau b = -16a.
Karena titik puncak adalah (8, 4), maka f(8) = 4. Substitusikan x = 8 ke dalam fungsi: a(8)^2 + b(8) + c = 4 => 64a + 8b + c = 4.
Karena grafik memotong sumbu X positif di dua titik yang berbeda, maka:
1. Diskriminan (D) > 0: b^2 - 4ac > 0.
2. Hasil kali akar-akar (x1 * x2) > 0: c/a > 0. Ini berarti a dan c memiliki tanda yang sama.
3. Jumlah akar-akar (x1 + x2) > 0: -b/a > 0. Karena sumbu simetri adalah x = 8 (positif), ini sudah terpenuhi jika a dan b memiliki tanda berlawanan.

Dari sumbu simetri, kita tahu b = -16a. Karena sumbu simetri positif (8), maka a dan b harus berlawanan tanda. Jika a > 0, maka b < 0. Jika a < 0, maka b > 0. Ini konsisten.
Substitusikan b = -16a ke dalam 64a + 8b + c = 4:
64a + 8(-16a) + c = 4
64a - 128a + c = 4
-64a + c = 4
c = 64a + 4

Sekarang kita periksa kondisi D > 0 dan c/a > 0.
1. D > 0:
b^2 - 4ac > 0
(-16a)^2 - 4a(64a + 4) > 0
256a^2 - 256a^2 - 16a > 0
-16a > 0
a < 0

2. c/a > 0:
Karena a < 0, agar c/a > 0, maka c juga harus negatif (c < 0).
Dari c = 64a + 4, jika a < 0, maka:
Jika a = -1, c = -64 + 4 = -60 (c < 0).
Jika a = -0.1, c = -6.4 + 4 = -2.4 (c < 0).
Ini menunjukkan bahwa jika a < 0, maka c akan selalu negatif. Jadi, c/a akan positif.

Kesimpulan:
Agar grafik fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c mempunyai titik puncak (8, 4) dan memotong sumbu X positif di dua titik yang berbeda, maka nilai a harus negatif (a < 0).
Karena a < 0, maka grafik membuka ke bawah. Titik puncak (8, 4) adalah titik maksimum.
Karena a < 0 dan b = -16a, maka b > 0.
Karena a < 0 dan c = 64a + 4, dan agar memotong sumbu X positif, nilai c harus sedemikian rupa sehingga akar-akarnya positif. Dengan a < 0, c = 64a + 4 akan negatif jika 64a < -4 atau a < -4/64 = -1/16. Jika -1/16 < a < 0, maka c akan positif, yang tidak memenuhi syarat c/a > 0. Jadi a harus lebih kecil dari -1/16.
Jadi, jika a < 0, maka grafik membuka ke bawah, memiliki titik puncak maksimum, dan jika dipilih a yang tepat (a < -1/16), maka ia akan memotong sumbu X positif.
Oleh karena itu, pernyataan yang benar adalah grafik tersebut memiliki nilai maksimum.