Jika lengkungan jembatan memiliki fungsi -x^2 + 9 dengan

Luas lengkung jembatan adalah 36 jika dihitung dengan integral tentu. Perkiraan dengan jumlah Riemann mendekati nilai ini.

Pembahasan

Untuk menghitung luas lengkungan jembatan dengan fungsi f(x) = -x^2 + 9 pada selang [-3, 3] menggunakan jumlah Riemann dan integral tentu, kita lakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Menggunakan Integral Tentu:**
    Luas di bawah kurva fungsi f(x) pada interval [a, b] diberikan oleh integral tentu dari a ke b dari f(x) dx.
    Luas = ∫[-3, 3] (-x^2 + 9) dx
    = [-x^3/3 + 9x] dari -3 sampai 3
    = [(-3^3/3 + 9*3) - (-(-3)^3/3 + 9*(-3))]
    = [(-27/3 + 27) - (-(-27)/3 - 27)]
    = [(-9 + 27) - (27/3 - 27)]
    = [18 - (9 - 27)]
    = [18 - (-18)]
    = 18 + 18
    = 36

2.  **Menggunakan Jumlah Riemann (Pendekatan):**
    Jumlah Riemann membagi area di bawah kurva menjadi beberapa persegi panjang (atau trapesium). Kita akan menggunakan pendekatan dengan n subinterval.
    Lebar setiap subinterval, Δx = (b - a) / n = (3 - (-3)) / n = 6/n.
    Kita bisa menggunakan titik tengah untuk menghitung tinggi persegi panjang.
    x_i = a + i * Δx = -3 + i * (6/n)
    Luas ≈ Σ[i=1 to n] f(x_i) * Δx
    Luas ≈ Σ[i=1 to n] (-( -3 + i * (6/n) )^2 + 9) * (6/n)

    Untuk mendapatkan hasil yang mendekati integral tentu, nilai n harus sangat besar (mendekati tak hingga).
    Misalnya, jika kita ambil n=6 (lebar Δx=1):
    Titik-titik: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
    Nilai f(x): f(-3)=0, f(-2)=5, f(-1)=8, f(0)=9, f(1)=8, f(2)=5, f(3)=0
    Menggunakan titik tengah antar interval (misal -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5) atau ujung interval.
    Jika menggunakan penjumlahan luas persegi panjang dengan lebar 1 dan tinggi pada titik awal interval:
    Luas ≈ 1*f(-3) + 1*f(-2) + 1*f(-1) + 1*f(0) + 1*f(1) + 1*f(2)
    Luas ≈ 0 + 5 + 8 + 9 + 8 + 5 = 35

    Jika menggunakan titik tengah interval:
    Luas ≈ 1*f(-2.5) + 1*f(-1.5) + 1*f(-0.5) + 1*f(0.5) + 1*f(1.5) + 1*f(2.5)
    f(-2.5) = -(-2.5)^2 + 9 = -6.25 + 9 = 2.75
    f(-1.5) = -(-1.5)^2 + 9 = -2.25 + 9 = 6.75
    f(-0.5) = -(-0.5)^2 + 9 = -0.25 + 9 = 8.75
    f(0.5) = -(0.5)^2 + 9 = -0.25 + 9 = 8.75
    f(1.5) = -(1.5)^2 + 9 = -2.25 + 9 = 6.75
    f(2.5) = -(2.5)^2 + 9 = -6.25 + 9 = 2.75
    Luas ≈ 2.75 + 6.75 + 8.75 + 8.75 + 6.75 + 2.75 = 36.5

3.  **Perbandingan Hasil:**
    Nilai yang diperoleh dari integral tentu (metode eksak) adalah 36. Perkiraan menggunakan jumlah Riemann dengan jumlah subinterval yang terbatas (n=6) memberikan hasil yang mendekati (35 atau 36.5). Semakin besar nilai n yang digunakan dalam jumlah Riemann, semakin dekat hasilnya dengan nilai integral tentu.