Jika lim x->0 sin x/x=1, maka tentukanlah lim n->0

Hasilnya adalah 2 (dengan asumsi limit terhadap x).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menganalisis kedua bagian dari ekspresi yang diberikan:

1. **Bagian pertama:** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Informasi ini adalah sebuah limit dasar yang sering digunakan.

2. **Bagian kedua:** $\lim_{n \to 0} \left( \frac{2}{x^2} - \frac{\sin 2x}{x^2 \tan x} \right)$. Perhatikan bahwa dalam limit ini, variabel yang menuju nol adalah 'n', bukan 'x'. Namun, karena 'x' tidak didefinisikan dalam kaitannya dengan 'n' dan tidak ada hubungan yang diberikan, kita harus mengasumsikan bahwa ini mungkin kesalahan pengetikan dan yang dimaksud adalah $\lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{x^2} - \frac{\sin 2x}{x^2 \tan x} \right)$. Jika kita mengasumsikan ini, kita dapat menyederhanakan ekspresi:

   $\frac{\sin 2x}{x^2 \tan x} = \frac{2 \sin x \cos x}{x^2 \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{2 \sin x \cos x \cos x}{x^2 \sin x} = \frac{2 \cos^2 x}{x^2}$

   Maka, ekspresi menjadi:

   $\lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{x^2} - \frac{2 \cos^2 x}{x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{2(1 - \cos^2 x)}{x^2}$

   Menggunakan identitas $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, maka $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

   $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$

   Karena $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, maka:

   $2 \times (1)^2 = 2$

   **Kesimpulan:** Jika diasumsikan bahwa limit yang dimaksud adalah terhadap 'x' dan bukan 'n', maka hasilnya adalah 2.