limit x->1 (x^(2/3)-2x^(1/3)+1)/(x-1)^2= ....

1/9

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to 1} \frac{x^{2/3}-2x^{1/3}+1}{(x-1)^2}$, kita dapat menggunakan substitusi u = x^(1/3). Maka, x = u^3. Ketika x → 1, maka u → 1.

Pertidaksamaan menjadi:
$\lim_{u\to 1} \frac{u^2-2u+1}{(u^3-1)^2}$

Faktorkan pembilang dan penyebut:
Pembilang: $u^2 - 2u + 1 = (u-1)^2$
Penyebut: $(u^3-1)^2 = ((u-1)(u^2+u+1))^2 = (u-1)^2 (u^2+u+1)^2$

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{u\to 1} \frac{(u-1)^2}{(u-1)^2 (u^2+u+1)^2}$

Kita bisa membatalkan $(u-1)^2$ dari pembilang dan penyebut (karena $u \to 1$, $u \neq 1$):
$\lim_{u\to 1} \frac{1}{(u^2+u+1)^2}$

Sekarang substitusikan u = 1:
$rac{1}{(1^2+1+1)^2} = rac{1}{(1+1+1)^2} = rac{1}{3^2} = rac{1}{9}$.

Jadi, nilai limitnya adalah 1/9.