Jika n=limit x mendekati tak hingga (2x cot 2/x-3 cot

Nilai n + 2/5 adalah 3/5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung nilai limit terlebih dahulu, kemudian menjumlahkannya dengan 2/5.

n = lim x->∞ (2x cot(2/x) - 3 cot(2/x)) / (5x^2 - 2x)

Kita bisa memisahkan pembilang:
lim x->∞ (2x cot(2/x)) / (5x^2 - 2x) - lim x->∞ (3 cot(2/x)) / (5x^2 - 2x)

Gunakan substitusi u = 1/x. Saat x -> ∞, maka u -> 0.

Untuk suku pertama:
lim u->0 (2(1/u) cot(2u)) / (5(1/u)^2 - 2(1/u))
= lim u->0 (2/u * cos(2u)/sin(2u)) / (5/u^2 - 2/u)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan u^2:
= lim u->0 (2u * cos(2u)/sin(2u)) / (5 - 2u)
Kita tahu bahwa lim u->0 (sin(au)/au) = 1, jadi sin(2u) ≈ 2u untuk u yang kecil.
= lim u->0 (2u * cos(2u)/(2u)) / (5 - 2u)
= lim u->0 (cos(2u)) / (5 - 2u)
Substitusikan u = 0:
= cos(0) / (5 - 0) = 1/5

Untuk suku kedua:
lim u->0 (3 cot(2u)) / (5/u^2 - 2/u)
= lim u->0 (3 * cos(2u)/sin(2u)) / ((5 - 2u)/u^2)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan u^2:
= lim u->0 (3u^2 * cos(2u)/sin(2u)) / (5 - 2u)
Karena sin(2u) ≈ 2u, maka:
= lim u->0 (3u^2 * cos(2u)/(2u)) / (5 - 2u)
= lim u->0 (3u * cos(2u)/2) / (5 - 2u)
Substitusikan u = 0:
= (0 * 1 / 2) / (5 - 0) = 0/5 = 0

Jadi, nilai n = 1/5 - 0 = 1/5.

Sekarang hitung n + 2/5:
n + 2/5 = 1/5 + 2/5 = 3/5

Jadi, nilai dari n + 2/5 adalah 3/5.