Nilai limit x->0 (cos x-cos 2x)/(tan^2 x)=...

3/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit x->0 (cos x - cos 2x) / (tan^2 x)

Turunkan pembilang: d/dx (cos x - cos 2x) = -sin x - (-sin 2x * 2) = -sin x + 2 sin 2x
Turunkan penyebut: d/dx (tan^2 x) = 2 tan x * sec^2 x

Limit x->0 (-sin x + 2 sin 2x) / (2 tan x sec^2 x)

Substitusi x=0 lagi masih menghasilkan 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital lagi.

Turunkan pembilang: d/dx (-sin x + 2 sin 2x) = -cos x + 2 (cos 2x * 2) = -cos x + 4 cos 2x
Turunkan penyebut: d/dx (2 tan x sec^2 x) = 2 [sec^2 x * sec^2 x + tan x * 2 sec x (sec x tan x)] = 2 [sec^4 x + 2 sec^2 x tan^2 x]

Limit x->0 (-cos x + 4 cos 2x) / (2 sec^4 x + 4 sec^2 x tan^2 x)

Substitusi x=0:
Pembilang: -cos 0 + 4 cos 0 = -1 + 4(1) = 3
Penyebut: 2 sec^4 0 + 4 sec^2 0 tan^2 0 = 2(1)^4 + 4(1)^2(0)^2 = 2 + 0 = 2

Jadi, nilai limitnya adalah 3/2.