Jika panjang sisi kubus 4 cm, tentukanlah: a. Jarak garis

a. 4√6 / 3 cm, b. 4 cm

Pembahasan

Misalkan kubus memiliki panjang sisi s = 4 cm.

a. Jarak garis AG terhadap garis BF.
Garis AG adalah diagonal ruang kubus, sedangkan garis BF adalah rusuk kubus. Dalam kubus, rusuk BF tegak lurus terhadap bidang ABCD dan juga tegak lurus terhadap rusuk AB dan BC. Garis AG terletak pada bidang diagonal ACGE.
Garis BF sejajar dengan garis CG dan AE. Jarak antara dua garis sejajar adalah panjang segmen garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.
Dalam kasus ini, kita bisa melihat bahwa garis BF tegak lurus terhadap garis AB (yang terletak pada bidang alas) dan juga tegak lurus terhadap garis FG (yang terletak pada bidang sisi BCGF).
Jarak terpendek antara garis AG dan BF adalah jarak dari titik B ke garis AG, atau jarak dari titik F ke garis AG, atau jarak dari titik A ke garis BF, atau jarak dari titik G ke garis BF. Karena BF adalah rusuk vertikal dan AG adalah diagonal ruang, kita dapat memproyeksikan salah satu garis ke bidang yang relevan. 
Cara yang lebih mudah adalah dengan memvisualisasikan kubus. Garis BF tegak lurus dengan bidang ABCD dan juga bidang EFGH. Garis AG berada dalam ruang. Jarak antara garis AG dan BF sama dengan jarak antara titik A dan garis BF (atau titik G dan garis BF). Karena BF adalah rusuk vertikal yang tegak lurus dengan bidang alas yang memuat A, maka jaraknya adalah panjang rusuk AB atau BC, yaitu 4 cm. 
Namun, jika kita melihat BF sebagai garis yang tegak lurus terhadap bidang ACGE, maka jaraknya adalah jarak dari A ke BF. Karena A berada pada bidang alas dan BF adalah rusuk vertikal, jaraknya adalah panjang rusuk AB = 4 cm. Jika kita melihat jarak dari G ke BF, maka jaraknya adalah panjang rusuk GC = 4 cm. 
Namun, jika pertanyaan mengacu pada jarak antara dua garis yang tidak berpotongan dan tidak sejajar, kita perlu mencari jarak terpendek. Dalam konteks kubus, garis AG dan BF tidak berpotongan dan tidak sejajar. Jarak antara kedua garis ini dapat dihitung dengan mencari panjang segmen yang tegak lurus terhadap keduanya. 
Sebenarnya, garis AG dan BF tidak memiliki jarak yang tetap jika kita hanya melihatnya sebagai dua garis di ruang 3D tanpa bidang acuan yang jelas. Namun, dalam konteks geometri kubus, biasanya yang dimaksud adalah jarak antara garis AG dan garis BF jika keduanya diperpanjang. 
Jika kita menganggap BF sebagai garis vertikal, dan AG sebagai diagonal ruang. Jarak antara kedua garis ini dapat dihitung. 
Perhatikan bidang ABFE. Garis BF tegak lurus AB dan AE. Garis AG tidak terletak pada bidang ini. 
Perhatikan bidang ADGF. Garis AG ada di bidang ini. BF tidak ada di bidang ini. 
Jarak terpendek antara AG dan BF adalah jarak dari titik A ke garis BF, yaitu panjang rusuk AB = 4 cm, atau jarak dari G ke BF, yaitu panjang rusuk GC = 4 cm. 
Namun, jika pertanyaan mengacu pada jarak antara garis AG dan BF yang merupakan dua garis yang bersilangan, maka jaraknya adalah panjang segmen yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. 
Perhatikan bidang ACGE. AG ada di bidang ini. BF tidak ada di bidang ini. 
Jika kita memproyeksikan BF ke bidang ACGE, kita mendapatkan garis CG (jika kita memproyeksikan dari C) atau AE (jika kita memproyeksikan dari A). 
Jarak antara AG dan BF adalah jarak dari titik B ke garis AG atau dari titik F ke garis AG. 
Misalkan kita mencari jarak dari F ke AG. Proyeksikan F ke bidang ACGE. Proyeksi F adalah C. Jadi kita mencari jarak dari C ke AG. 
Diagonal ruang AG. Titik C. Segitiga ACG adalah segitiga siku-siku di C. AC = diagonal bidang = s√2 = 4√2. CG = s = 4. AG = diagonal ruang = s√3 = 4√3. 
Luas segitiga ACG = 1/2 * AC * CG = 1/2 * 4√2 * 4 = 8√2. 
Luas segitiga ACG juga = 1/2 * AG * tinggi (jarak C ke AG). 
1/2 * 4√3 * t = 8√2 
t = (8√2 * 2) / (4√3) = 16√2 / 4√3 = 4√2 / √3 = 4√6 / 3. 
Jadi, jarak garis AG terhadap garis BF adalah 4√6 / 3 cm.

b. Jarak titik A ke bidang EFGH.
Bidang EFGH adalah bidang alas atas dari kubus. Titik A adalah salah satu titik sudut pada bidang alas bawah. Jarak antara sebuah titik ke sebuah bidang adalah panjang segmen garis tegak lurus dari titik tersebut ke bidang. Dalam kubus, rusuk AE tegak lurus terhadap bidang EFGH (karena AE tegak lurus EH dan EF). 
Oleh karena itu, jarak titik A ke bidang EFGH sama dengan panjang rusuk AE.
Jarak titik A ke bidang EFGH = panjang rusuk AE = s = 4 cm.

Jawaban:
a. Jarak garis AG terhadap garis BF adalah 4√6 / 3 cm.
b. Jarak titik A ke bidang EFGH adalah 4 cm.