Jika persamaan kuadrat ax^2-2ax+1=0 mempunyai akar kembar

$y = -3x + 6$

Pembahasan

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah $ax^2 - 2ax + 1 = 0$. Agar persamaan ini memiliki akar kembar, diskriminannya harus nol ($D=0$).

Diskriminan dihitung dengan rumus $D = b^2 - 4ac$. Dalam persamaan ini, $a = a$, $b = -2a$, dan $c = 1$.

$D = (-2a)^2 - 4(a)(1) = 0$
$4a^2 - 4a = 0$
$4a(a - 1) = 0$

Dari sini kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk $a$: $a=0$ atau $a=1$. Namun, jika $a=0$, persamaan kuadrat menjadi tidak terdefinisi (menjadi $0x^2 - 0x + 1 = 0$, yang berarti $1=0$, sebuah kontradiksi). Oleh karena itu, $a$ harus sama dengan 1.

Jika $a=1$, maka persamaan kuadrat menjadi $x^2 - 2x + 1 = 0$. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi $(x-1)^2 = 0$, yang berarti akar kembar $x_1 = 1$.

Jadi, titik singgungnya adalah $(x_1, f(x_1))$. Kita perlu mencari fungsi $f(x)$ terlebih dahulu. Dari soal, $f(x) = \frac{(x^6+2)}{x^3}$.

Nilai $f(x_1)$ adalah $f(1)$:
$f(1) = \frac{(1^6+2)}{1^3} = \frac{(1+2)}{1} = 3$.

Jadi, titik singgungnya adalah $(1, 3)$.

Selanjutnya, kita perlu mencari gradien garis singgung dengan menurunkan $f(x)$ terhadap $x$.
$f(x) = x^3 + 2x^{-3}$
$f'(x) = 3x^2 - 6x^{-4} = 3x^2 - \frac{6}{x^4}$

Gradien pada titik $x_1 = 1$ adalah $f'(1)$:
$f'(1) = 3(1)^2 - \frac{6}{(1)^4} = 3 - 6 = -3$.

Sekarang kita memiliki titik $(1, 3)$ dan gradien $m = -3$. Persamaan garis singgung dapat dicari menggunakan rumus $y - y_1 = m(x - x_1)$:
$y - 3 = -3(x - 1)$
$y - 3 = -3x + 3$
$y = -3x + 6$

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva $f(x)=\frac{(x^6+2)}{x^3}$ di titik $(x_1, f(x_1))$ adalah $y = -3x + 6$.