Jika PS=SR, PQ=QR, sudut SPQ=110, dan sudut PQS=30 , maka

110°

Pembahasan

Diketahui:
PQRS adalah sebuah bangun datar.
PS = SR
PQ = QR
Sudut SPQ = 110°
Sudut PQS = 30°

Karena PQ = QR, segitiga PQR adalah segitiga sama kaki. Maka, sudut QPR = sudut QRP.
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°, jadi sudut PQR = 180° - (sudut QPR + sudut QRP). Namun, kita belum bisa menentukan sudut QPR dan QRP secara langsung.

Karena PS = SR, segitiga PSR adalah segitiga sama kaki. Maka, sudut SPR = sudut SRP.

Dalam segitiga PQS, kita tahu sudut SPQ = 110° dan sudut PQS = 30°.
Sudut PSQ = 180° - (sudut SPQ + sudut PQS) = 180° - (110° + 30°) = 180° - 140° = 40°.

Karena PQ = QR, sudut QPR = sudut QRP. 
Karena PS = SR, sudut SPR = sudut SRP.

Sudut SPQ = Sudut SPR + Sudut QPR = 110°

Sudut PQR dapat dicari jika kita mengetahui salah satu sudut di basisnya (sudut QPR atau QRP) atau sudut puncaknya. 

Mari kita analisis lebih lanjut sifat-sifat bangun datar ini. Segitiga PQR sama kaki dengan PQ=QR. Segitiga PSR sama kaki dengan PS=SR. Titik Q dan S berada pada sisi yang berbeda dari PR.

Perhatikan segitiga PQR. Karena PQ=QR, maka sudut QPR = sudut QRP. Sudut PQR = 180 - 2 * sudut QRP.
Perhatikan segitiga PSR. Karena PS=SR, maka sudut SPR = sudut SRP. Sudut PSR = 180 - 2 * sudut SRP.

Kita tahu sudut SPQ = 110° dan sudut PQS = 30°. Dalam segitiga PQS, sudut PSQ = 180° - 110° - 30° = 40°.

Hubungan antara sudut-sudut tersebut:
Sudut SPQ = Sudut SPR + Sudut QPR = 110°
Sudut RPS + Sudut RPQ = 110°

Karena PQ=QR, maka sudut QPR = sudut QRP.
Karena PS=SR, maka sudut SPR = sudut SRP.

Ini berarti kita memiliki dua segitiga sama kaki yang berbagi sisi PR, dan titik Q serta S berada di sisi yang berlawanan dari PR.

Sudut PQR = 180 - (sudut QPR + sudut QRP) = 180 - 2 * sudut QRP
Sudut PSR = 180 - (sudut SPR + sudut SRP) = 180 - 2 * sudut SRP

Kita memiliki:
Sudut SPQ = 110°
Sudut PQS = 30°
Sudut PSQ = 40°

Perhatikan bahwa bangun PQRS ini adalah layang-layang jika P dan R adalah titik puncak yang berhadapan, namun dari penamaan sisi dan sudut, ini lebih mengarah pada dua segitiga sama kaki yang digabung. 

Jika kita menganggap QRP adalah sudut yang sama dengan SRP, maka S, R, Q kolinear, yang tidak mungkin karena membentuk bangun PQRS. 

Kembali ke segitiga PQR sama kaki dengan PQ=QR.
Sudut QPR = Sudut QRP.

Dalam segitiga PQS, sudut PQS = 30°, sudut SPQ = 110°, sudut PSQ = 40°.

Jika kita menyusun bangun ini, PQ=QR dan PS=SR. Ini adalah sifat layang-layang. Dalam layang-layang, diagonal PR tegak lurus dengan diagonal QS, dan salah satu diagonal (QS) membagi diagonal lainnya (PR) menjadi dua sama panjang. Juga, salah satu diagonal (QS) membagi sudut di titik ujungnya (sudut PQR dan PSR) menjadi dua sama besar.

Namun, dalam layang-layang standar, sepasang sisi yang berdekatan sama panjang, dan sepasang sisi yang lain juga sama panjang. Di sini kita punya PQ=QR dan PS=SR. Ini konsisten dengan layang-layang.

Dalam layang-layang, sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang tidak sama panjang adalah sama. Yaitu, sudut SPQ = sudut SRQ dan sudut PSR = sudut PQR.

Namun, informasi yang diberikan adalah PQ=QR dan PS=SR. Sisi PQ berdekatan dengan PS, dan QR berdekatan dengan SR. Sisi PQ berdekatan dengan QR, dan PS berdekatan dengan SR. 

Jika PQ=QR dan PS=SR, maka PQRS adalah layang-layang di mana PR adalah sumbu simetri jika sudut P dan R sama, atau QS adalah sumbu simetri jika sudut Q dan S sama. 

Jika PQ=QR, maka segitiga PQR adalah sama kaki. Jika PS=SR, maka segitiga PSR adalah sama kaki.

Kita diberikan sudut SPQ = 110° dan sudut PQS = 30°.
Dalam segitiga PQS:
Sudut PSQ = 180° - 110° - 30° = 40°.

Karena PQ = QR, sudut QPR = sudut QRP.
Karena PS = SR, sudut SPR = sudut SRP.

Sudut SPQ = Sudut SPR + Sudut QPR = 110°

Jika kita menganggap layang-layang dengan sumbu simetri adalah QS, maka sudut PQS = sudut RQS = 30°, sehingga sudut PQR = 60°. Dan sudut PSQ = sudut RSQ = 40°, sehingga sudut PSR = 80°.
Jika sudut PQR = 60°, maka dalam segitiga PQR sama kaki, sudut QPR = sudut QRP = (180° - 60°)/2 = 60°. Segitiga PQR sama sisi.
Jika sudut PSR = 80°, maka dalam segitiga PSR sama kaki, sudut SPR = sudut SRP = (180° - 80°)/2 = 50°.

Mari kita cek apakah ini konsisten dengan sudut SPQ = 110°.
Sudut SPQ = Sudut SPR + Sudut QPR = 50° + 60° = 110°. Ini konsisten.

Maka, sudut QRS adalah sudut yang sama dengan sudut QPS karena layang-layang memiliki sepasang sudut berlawanan yang sama besar.

Sudut QRS = Sudut QRP + Sudut SRP
Sudut QRS = 60° + 50° = 110°.

Mari kita periksa lagi. Dalam layang-layang, sudut yang berhadapan yang dibentuk oleh sisi yang tidak sama panjang adalah sama besar. Sudut Q dan S berhadapan, dan sudut P dan R berhadapan.
Namun, PQ=QR dan PS=SR berarti PQ dan PS adalah sisi yang berdekatan, QR dan SR adalah sisi yang berdekatan. Sisi PQ berdekatan dengan PS, dan QR berdekatan dengan SR. Pasangan sisi yang sama adalah PQ=QR dan PS=SR. Ini adalah layang-layang di mana P dan R adalah titik sudut yang berbeda.
Dalam layang-layang, sepasang sudut berhadapan yang dibentuk oleh sisi-sisi yang tidak sama panjang adalah sama besar. Yaitu, sudut PSR = sudut PQR.  Namun, ini tidak selalu benar. Yang benar adalah sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang sama panjang tidak sama dengan sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang tidak sama panjang.

Dalam layang-layang PQRS dengan PQ=QR dan PS=SR, maka sudut P dan sudut R adalah sudut yang sama besar. Yaitu, sudut SPQ = sudut SRQ.

Kita diberikan:
PQ = QR
PS = SR
Sudut SPQ = 110°
Sudut PQS = 30°

Dalam segitiga PQR (sama kaki karena PQ=QR):
Sudut QPR = Sudut QRP

Dalam segitiga PSR (sama kaki karena PS=SR):
Sudut SPR = Sudut SRP

Dalam segitiga PQS:
Sudut SPQ = 110°
Sudut PQS = 30°
Maka, Sudut PSQ = 180° - (110° + 30°) = 180° - 140° = 40°.

Karena PQRS adalah layang-layang dengan PQ=QR dan PS=SR, maka diagonal QS adalah sumbu simetri. Ini berarti sudut PQS = sudut RQS = 30°, sehingga sudut PQR = 60°. Dan sudut PSQ = sudut RSQ = 40°, sehingga sudut PSR = 80°.

Dalam segitiga PQR sama kaki (PQ=QR):
Sudut QPR = Sudut QRP = (180° - Sudut PQR) / 2 = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60°.
Ini berarti segitiga PQR adalah segitiga sama sisi.

Dalam segitiga PSR sama kaki (PS=SR):
Sudut SPR = Sudut SRP = (180° - Sudut PSR) / 2 = (180° - 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°.

Sekarang kita cek Sudut SPQ:
Sudut SPQ = Sudut SPR + Sudut QPR = 50° + 60° = 110°. Ini konsisten dengan yang diberikan.

Maka, kita perlu mencari sudut QRS.
Sudut QRS = Sudut QRP + Sudut SRP
Sudut QRS = 60° + 50° = 110°.

Jadi, sudut QRS = 110°.