Jika T suatu transformasi linear yang memetakan titik-titik

Titik (-1,2) dipetakan menjadi (2,-1).

Pembahasan

Transformasi linear T memetakan vektor-vektor basis standar ke vektor-vektor tertentu. Dalam ruang 2 dimensi, vektor-vektor basis standar adalah e1 = (1,0) dan e2 = (0,1).

Diketahui:
T(0,1) = (1,0)
T(1,0) = (0,1)

Kita ingin mencari hasil transformasi T pada titik (-1,2). Setiap vektor di R^2 dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor basis standar. Dalam hal ini, vektor (-1,2) dapat ditulis sebagai:

(-1,2) = -1 * (1,0) + 2 * (0,1)

Karena T adalah transformasi linear, maka berlaku sifat:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u), di mana c adalah skalar.

Maka, kita dapat menerapkan transformasi T pada (-1,2) sebagai berikut:

T(-1,2) = T(-1 * (1,0) + 2 * (0,1))

Menggunakan sifat linearitas:

T(-1,2) = T(-1 * (1,0)) + T(2 * (0,1))

T(-1,2) = -1 * T(1,0) + 2 * T(0,1)

Sekarang, kita substitusikan hasil pemetaan yang diketahui:

T(-1,2) = -1 * (0,1) + 2 * (1,0)

Melakukan perkalian skalar:

T(-1,2) = (0, -1) + (2, 0)

Menjumlahkan kedua vektor tersebut:

T(-1,2) = (0 + 2, -1 + 0)

T(-1,2) = (2, -1)

Jadi, transformasi linear T menentukan titik (-1,2) menjadi titik (2,-1).

Dalam bentuk matriks, transformasi ini adalah:
Matriks T = [[0, 1], [1, 0]] (kolom-kolomnya adalah hasil transformasi dari basis (0,1) dan (1,0))
Jika T(0,1) = (1,0) diletakkan sebagai kolom pertama dan T(1,0) = (0,1) sebagai kolom kedua, maka matriksnya adalah [[1, 0], [0, 1]] jika T(1,0) adalah kolom pertama dan T(0,1) adalah kolom kedua. Namun, dari penulisan soal 'memetakan titik-titik (0,1) dan (1,0) berturut-turut menjadi titik-titik (1,0) dan (0,1)', berarti:
T(0,1) = (1,0) -> ini adalah kolom kedua dari matriks transformasi jika basisnya adalah (1,0), (0,1).
T(1,0) = (0,1) -> ini adalah kolom pertama dari matriks transformasi.
Jadi matriks T adalah [[0, 1], [1, 0]].

Untuk mencari T(-1,2):
[[-1], [2]] * [[0, 1], [1, 0]] = [[-1*0 + 2*1], [-1*1 + 2*0]] = [[2], [-1]]
Ini benar jika matriksnya adalah [[0,1],[1,0]]. Jika T(0,1) = (1,0) dan T(1,0) = (0,1), maka matriksnya adalah:
[T(e1) T(e2)] = [[0, 1], [1, 0]].
Kemudian:
[[0, 1], [1, 0]] * [[-1], [2]] = [[0*(-1) + 1*2], [1*(-1) + 0*2]] = [[2], [-1]].
Jawaban tetap sama.