lim x->1 (1-cos^2(x-1))/((akar(x)-x)tan(1-x))= ...

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.
Limit x->1 (1-cos^2(x-1))/((akar(x)-x)tan(1-x))
Kita tahu bahwa 1 - cos^2(u) = sin^2(u).
Maka, pembilangnya menjadi sin^2(x-1).
Limitnya menjadi: lim x->1 sin^2(x-1) / ((akar(x)-x)tan(1-x))
Kita bisa substitusi u = x - 1, sehingga x = u + 1. Ketika x -> 1, maka u -> 0.
Limitnya menjadi: lim u->0 sin^2(u) / ((akar(u+1)-(u+1))tan(-u))
Kita tahu bahwa tan(-u) = -tan(u) dan sin^2(u) mendekati u^2 untuk u mendekati 0, dan tan(u) mendekati u untuk u mendekati 0.
Untuk penyebut, kita perlu menganalisis (akar(u+1)-(u+1)).
Menggunakan ekspansi Taylor untuk akar(1+u) sekitar u=0 adalah 1 + (1/2)u - (1/8)u^2 + ...
Menggunakan ekspansi Taylor untuk (u+1) adalah 1 + u.
Maka, akar(u+1) - (u+1) mendekati (1 + (1/2)u) - (1 + u) = - (1/2)u untuk u mendekati 0.
Dan tan(-u) mendekati -u untuk u mendekati 0.
Maka, penyebutnya mendekati (-(1/2)u) * (-u) = (1/2)u^2.
Limitnya menjadi: lim u->0 u^2 / ((1/2)u^2) = 1 / (1/2) = 2.
Alternatif lain menggunakan aturan L'Hopital.
Misalkan f(x) = 1 - cos^2(x-1) dan g(x) = (akar(x)-x)tan(1-x).
Turunan f(x): f'(x) = -2cos(x-1)(-sin(x-1)) = 2sin(x-1)cos(x-1) = sin(2(x-1)).
Turunan g(x) menggunakan aturan perkalian:
g'(x) = [d/dx (akar(x)-x)] * tan(1-x) + (akar(x)-x) * [d/dx tan(1-x)]
g'(x) = [(1/2*akar(x)) - 1] * tan(1-x) + (akar(x)-x) * [-sec^2(1-x)]
Ketika x -> 1, sin(2(x-1)) -> sin(0) = 0.
Ketika x -> 1, [(1/2*akar(x)) - 1] -> (1/2) - 1 = -1/2.
Ketika x -> 1, tan(1-x) -> tan(0) = 0.
Ketika x -> 1, (akar(x)-x) -> 1-1 = 0.
Ketika x -> 1, sec^2(1-x) -> sec^2(0) = 1.
Maka, g'(1) = (-1/2) * 0 + 0 * (-1) = 0.
Karena kita mendapatkan bentuk 0/0, kita bisa terapkan L'Hopital lagi.
f''(x) = 2cos(2(x-1)) * 2 = 4cos(2(x-1)).
Untuk g'(x), turunannya akan lebih rumit. Mari kita kembali ke bentuk limit dengan substitusi u.
lim u->0 sin^2(u) / ((akar(u+1)-(u+1))tan(-u))
Kita bisa gunakan pendekatan sin(u) ~ u, tan(u) ~ u.
lim u->0 u^2 / ((akar(u+1)-(u+1))(-u))
Sekarang fokus pada (akar(u+1)-(u+1)).
Kita bisa gunakan aturan L'Hopital pada (akar(u+1)-(u+1)) / u jika kita membagi pembilang dan penyebut dengan u.
lim u->0 [(1/2*akar(u+1)) - 1] / 1 = 1/2 - 1 = -1/2.
Jadi, (akar(u+1)-(u+1)) / u mendekati -1/2.
Ini berarti (akar(u+1)-(u+1)) mendekati -1/2 * u.
Kembali ke limit awal:
lim u->0 sin^2(u) / ((akar(u+1)-(u+1))tan(-u))
lim u->0 u^2 / ((-1/2 * u) * (-u))
lim u->0 u^2 / (1/2 * u^2) = 1 / (1/2) = 2.
Jadi, nilai limitnya adalah 2.