Jika tan x /(1+ tan x) + tanx/(1-tanx) = 1 ,maka x =

x = 22.5° + n * 90°

Pembahasan

Diberikan persamaan:
tan x / (1 + tan x) + tanx / (1 - tan x) = 1

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menyamakan penyebutnya:
[tan x (1 - tan x) + tan x (1 + tan x)] / [(1 + tan x)(1 - tan x)] = 1

[tan x - tan^2 x + tan x + tan^2 x] / [1 - tan^2 x] = 1

[2 tan x] / [1 - tan^2 x] = 1

Kita tahu bahwa rumus identitas trigonometri untuk tan(2x) adalah:
tan(2x) = 2 tan x / (1 - tan^2 x)

Jadi, persamaan dapat ditulis ulang sebagai:
tan(2x) = 1

Untuk mencari nilai x, kita perlu mencari sudut yang nilai tangennya adalah 1. Sudut referensi untuk tan = 1 adalah 45 derajat atau pi/4 radian.
Karena tan bersifat positif di kuadran I dan III, solusi umum untuk tan(θ) = 1 adalah:
2x = 45° + n * 180°  (di mana n adalah bilangan bulat)

x = (45° + n * 180°) / 2

x = 22.5° + n * 90°

Jika kita mencari solusi dalam rentang 0° hingga 360°:
Untuk n = 0: x = 22.5°
Untuk n = 1: x = 22.5° + 90° = 112.5°
Untuk n = 2: x = 22.5° + 180° = 202.5°
Untuk n = 3: x = 22.5° + 270° = 292.5°

Namun, kita harus memeriksa apakah ada pembatasan pada nilai tan x di penyebut (1 + tan x) dan (1 - tan x) yang tidak boleh nol. Ini berarti tan x ≠ -1 dan tan x ≠ 1. Jika tan x = 1, maka 1 - tan^2 x = 0, yang membuat persamaan awal tidak terdefinisi. Oleh karena itu, kita harus mengecualikan nilai x di mana tan x = 1.

tan x = 1 terjadi ketika x = 45° + n * 180°.

Dari solusi yang kita dapatkan (22.5°, 112.5°, 202.5°, 292.5°), kita perlu memeriksa apakah ada yang membuat tan x = 1.

tan(22.5°) ≠ 1
tan(112.5°) ≠ 1
tan(202.5°) ≠ 1
tan(292.5°) ≠ 1

Jadi, semua solusi yang ditemukan valid.

Jika ditanya nilai x yang paling umum atau nilai utama, biasanya merujuk pada solusi di kuadran pertama.

Jadi, jika x adalah sudut lancip, maka x = 22.5°.