Jika x, y, z adalah penyelesaian dari sistem persamaan,

{(5, 3, 1)}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel:
1. 3x + 7y - 2z = 34
2. 4x + 2y - 5z = 21
3. 6y - 4z = 14

Kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Persamaan (3) sudah dalam bentuk yang lebih sederhana dan hanya melibatkan y dan z. Kita bisa menyederhanakan persamaan (3) dengan membaginya dengan 2:
3y - 2z = 7 (Persamaan 3')

Sekarang, kita bisa gunakan Persamaan 3' untuk mengeliminasi z dari Persamaan 1 dan 2.
Kalikan Persamaan 1 dengan 2:
2 * (3x + 7y - 2z) = 2 * 34
6x + 14y - 4z = 68 (Persamaan 1')

Kalikan Persamaan 3' dengan 1 (atau gunakan langsung):
3y - 2z = 7

Kita bisa mengeliminasi z dengan mengurangi Persamaan 1' dengan hasil kali Persamaan 3' yang disesuaikan.
Mari kita eliminasi z dari Persamaan 1 dan 2:
Kalikan Persamaan 1 dengan 5: 15x + 35y - 10z = 170
Kalikan Persamaan 2 dengan 2: 8x + 4y - 10z = 42
Kurangkan Persamaan 2 yang dikali 2 dari Persamaan 1 yang dikali 5:
(15x + 35y - 10z) - (8x + 4y - 10z) = 170 - 42
7x + 31y = 128 (Persamaan 4)

Sekarang eliminasi z dari Persamaan 2 dan 3:
Kalikan Persamaan 2 dengan 2: 8x + 4y - 10z = 42
Kalikan Persamaan 3' dengan 5: 15y - 10z = 35
Kurangkan Persamaan 3' yang dikali 5 dari Persamaan 2 yang dikali 2:
(8x + 4y - 10z) - (15y - 10z) = 42 - 35
8x - 11y = 7 (Persamaan 5)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan dengan dua variabel:
4. 7x + 31y = 128
5. 8x - 11y = 7

Mari kita eliminasi x. Kalikan Persamaan 4 dengan 8 dan Persamaan 5 dengan 7:
8 * (7x + 31y) = 8 * 128  => 56x + 248y = 1024
7 * (8x - 11y) = 7 * 7   => 56x - 77y = 49

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(56x + 248y) - (56x - 77y) = 1024 - 49
56x + 248y - 56x + 77y = 975
325y = 975
y = 975 / 325
y = 3

Substitusikan y = 3 ke Persamaan 5:
8x - 11(3) = 7
8x - 33 = 7
8x = 7 + 33
8x = 40
x = 40 / 8
x = 5

Substitusikan x = 5 dan y = 3 ke Persamaan 3' (atau Persamaan 3):
3y - 2z = 7
3(3) - 2z = 7
9 - 2z = 7
-2z = 7 - 9
-2z = -2
z = -2 / -2
z = 1

Himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 1)}.