Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaanx^2-2x+k=0 dan

10

Pembahasan

Kita diberikan persamaan kuadrat x^2 - 2x + k = 0, di mana x1 dan x2 adalah akar-akarnya. Berdasarkan sifat akar-akar persamaan kuadrat:
x1 + x2 = -(-2)/1 = 2
x1 * x2 = k/1 = k

Kita juga diberikan bahwa 2x1, x2, dan x2^2 - 1 adalah tiga suku berurutan dari suatu deret aritmetika dengan beda positif. Dalam deret aritmetika, selisih antara suku-suku yang berurutan adalah konstan (beda).

Maka, kita dapat menuliskan:
(suku ke-2) - (suku ke-1) = (suku ke-3) - (suku ke-2)
x2 - 2x1 = (x2^2 - 1) - x2

Kita tahu bahwa x1 = 2 - x2. Substitusikan nilai x1 ke dalam persamaan di atas:
x2 - 2(2 - x2) = x2^2 - x2 - 1
x2 - 4 + 2x2 = x2^2 - x2 - 1
3x2 - 4 = x2^2 - x2 - 1

Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam x2:
x2^2 - x2 - 3x2 - 1 + 4 = 0
x2^2 - 4x2 + 3 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(x2 - 1)(x2 - 3) = 0

Maka, nilai x2 yang mungkin adalah x2 = 1 atau x2 = 3.

Kasus 1: Jika x2 = 1
Maka, x1 = 2 - x2 = 2 - 1 = 1.
Beda deret aritmetika = x2 - 2x1 = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1.
Karena beda deret adalah negatif (-1), kasus ini tidak memenuhi syarat beda positif.

Kasus 2: Jika x2 = 3
Maka, x1 = 2 - x2 = 2 - 3 = -1.
Beda deret aritmetika = x2 - 2x1 = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5.
Karena beda deret adalah positif (5), kasus ini memenuhi syarat.

Sekarang kita perlu mencari nilai x1^2 + x2^2.
Kita punya x1 = -1 dan x2 = 3.

x1^2 + x2^2 = (-1)^2 + (3)^2
x1^2 + x2^2 = 1 + 9
x1^2 + x2^2 = 10

Jadi, nilai x1^2 + x2^2 adalah 10.