Jumlah deret geometri tak berhingga 2log x+ 4 log x+ 16 log

Soal ini tampaknya memiliki kesalahan penulisan karena urutan koefisien (2, 4, 16) tidak membentuk rasio yang konstan untuk deret geometri. Jika diasumsikan sebagai deret geometri konvergen, diperlukan |r| < 1.

Pembahasan

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang memiliki jumlah suku tak hingga. Rumus jumlah deret geometri tak hingga (S∞) adalah S∞ = a / (1 - r), di mana 'a' adalah suku pertama dan 'r' adalah rasio antar suku. Agar deret geometri tak hingga memiliki jumlah, syaratnya adalah |r| < 1.

Dalam soal ini, deretnya adalah 2log x + 4log x + 16log x + ...
Suku pertama (a) = 2log x
Untuk mencari rasio (r), kita bagi suku kedua dengan suku pertama:
r = (4log x) / (2log x) = 2

Namun, jika kita melihat polanya, ini bukan deret geometri dalam arti tradisional di mana setiap suku dikalikan dengan rasio yang konstan. Suku-suku tersebut adalah kelipatan dari 'log x'. Sepertinya ada kesalahan dalam penulisan soal atau pemahaman tentang deret yang dimaksud.

Jika yang dimaksud adalah deret geometri dengan suku-suku:
Suku 1 = 2 * log x
Suku 2 = 4 * log x
Suku 3 = 16 * log x

Maka rasio (r) antara suku kedua dan pertama adalah (4 log x) / (2 log x) = 2.
Rasio antara suku ketiga dan kedua adalah (16 log x) / (4 log x) = 4.
Karena rasio tidak konstan, ini bukan deret geometri.

Kemungkinan lain, jika yang dimaksud adalah suku-suku deretnya adalah:
Suku 1 = 2 * (log x)
Suku 2 = 2^2 * (log x)
Suku 3 = 2^4 * (log x)

Ini juga bukan deret geometri standar.

Mari kita coba interpretasi lain: mungkin basis logaritma yang berubah.
Misalkan deretnya adalah:
2log x + (2^2)log x + (2^4)log x + ...
Ini juga bukan deret geometri.

Jika yang dimaksud adalah suku-sukunya adalah: a, ar, ar^2, ...
Maka:
2log x = a
4log x = ar
16log x = ar^2

Maka r = (4log x) / (2log x) = 2.
Jika r = 2, maka suku ketiga seharusnya ar^2 = (2log x) * 2^2 = 8log x.
Namun, suku ketiga yang diberikan adalah 16log x. Ini menunjukkan bahwa soal ini tidak mendefinisikan sebuah deret geometri.

Jika ada kesalahan pengetikan dan deretnya adalah:
2log x + 4log x + 8log x + ...
Maka:
a = 2log x
r = (4log x) / (2log x) = 2
Dalam kasus ini, karena |r| = 2 > 1, deret ini tidak memiliki jumlah hingga.

Jika deretnya adalah:
log x^2 + log x^4 + log x^16 + ...
Maka deretnya adalah:
2log x + 4log x + 16log x + ...
Sama seperti di atas, bukan deret geometri.

Jika soalnya adalah jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio 2log x, ini juga tidak mungkin karena rasio harus konstan.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan pengetikan dan suku-sukunya adalah:
a, ar, ar^2, ...
Dan:
Suku 1 = 2
Suku 2 = 2 * (log x)
Suku 3 = 2 * (log x)^2

Maka r = log x.
Dan jumlahnya adalah S∞ = 2 / (1 - log x).

Namun, berdasarkan format soal yang diberikan (2log x + 4log x + 16log x + ...), tampaknya suku-sukunya adalah kelipatan dari log x dengan koefisien yang meningkat secara eksponensial.

Kemungkinan besar, ada kesalahan dalam penulisan soal, karena urutan 2, 4, 16 tidak membentuk rasio yang konstan untuk deret geometri. Jika kita menganggap ada kesalahan dan rasio seharusnya konstan, misalnya r=2, maka suku-sukunya adalah 2log x, 4log x, 8log x, ... . Dalam kasus ini, r=2, sehingga deret divergen dan tidak memiliki jumlah hingga.

Jika kita menganggap bahwa basis logaritma yang berubah dan suku-sukunya adalah:
log_2 x + log_4 x + log_16 x + ...
Maka dengan menggunakan sifat logaritma log_a b = log_c b / log_c a:
= log x / log 2 + log x / log 4 + log x / log 16 + ...
= log x (1/log 2 + 1/log 4 + 1/log 16 + ...)
Deret di dalam kurung adalah 1/log 2 + 1/(2 log 2) + 1/(4 log 2) + ...
= (1/log 2) * (1 + 1/2 + 1/4 + ...)
Ini adalah deret geometri dengan a=1 dan r=1/2. Jumlahnya adalah 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.
Maka jumlah deretnya adalah (log x / log 2) * 2 = 2 log_2 x = log_2 x^2.

Namun, soal tertulis "2log x + 4log x + 16log x + ...". Ini mengimplikasikan koefisien dari log x. Jika kita menganggap ini adalah deret aritmatika pada koefisien dengan rasio geometri pada log x, ini juga tidak sesuai.

Mengacu pada format penulisan "jumlah deret geometri tak hingga", maka urutan koefisien (2, 4, 16) harus memiliki rasio yang konstan. Karena 4/2 = 2 dan 16/4 = 4, ini bukan deret geometri. Jika ada kesalahan pengetikan dan deretnya adalah 2log x + 4log x + 8log x + ..., maka rasio r = 2. Jika |r| >= 1, deret divergen dan tidak memiliki jumlah hingga. Agar memiliki jumlah, |r| < 1. Maka soal ini tidak dapat dijawab karena tidak membentuk deret geometri yang konvergen, atau ada kesalahan dalam penulisan soal.