Jumlah n suku pertama deret

(5n/2) log(b^(n-1) / a^2)

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan deret aritmatika atau geometri, yang mana suku-sukunya melibatkan logaritma.

Deret yang diberikan adalah: 5log(1/a) + 5log(b/a) + 5log(b^2/a) + ...

Mari kita analisis suku-suku deret ini:
Suku pertama (U1) = 5log(1/a) = 5log(a^-1) = -5log(a)
Suku kedua (U2) = 5log(b/a)
Suku ketiga (U3) = 5log(b^2/a)

Untuk menentukan jenis deretnya, kita periksa rasio atau bedanya.

Periksa rasio (jika deret geometri):
U2 / U1 = (5log(b/a)) / (-5log(a))
U3 / U2 = (5log(b^2/a)) / (5log(b/a))

Periksa beda (jika deret aritmatika):
U2 - U1 = 5log(b/a) - 5log(1/a) = 5[log(b/a) - log(1/a)] = 5log((b/a) / (1/a)) = 5log(b)
U3 - U2 = 5log(b^2/a) - 5log(b/a) = 5[log(b^2/a) - log(b/a)] = 5log((b^2/a) / (b/a)) = 5log(b)

Karena U2 - U1 = U3 - U2, maka deret ini adalah deret aritmatika dengan:
Suku pertama (a) = U1 = -5log(a)
Beda (b) = 5log(b)

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah:
Sn = n/2 * [2a + (n-1)b]

Substitusikan nilai a dan b ke dalam rumus Sn:
Sn = n/2 * [2(-5log(a)) + (n-1)(5log(b))]
Sn = n/2 * [-10log(a) + 5(n-1)log(b)]
Sn = n/2 * 5 * [-2log(a) + (n-1)log(b)]
Sn = (5n/2) * [log(a^-2) + log(b^(n-1))]
Sn = (5n/2) * log(a^-2 * b^(n-1))
Sn = (5n/2) * log(b^(n-1) / a^2)

Jadi, jumlah n suku pertama deret tersebut adalah (5n/2) log(b^(n-1) / a^2).