Jumlah panjang sisi alas dan tegak dari suatu segitiga

Luas terbesar segitiga adalah 8 cm^2.

Pembahasan

Untuk memaksimalkan luas segitiga siku-siku dengan jumlah panjang sisi alas dan tegak yang tetap, kita perlu memahami hubungan antara luas dan sisi-sisinya.

Misalkan:
*   Panjang alas segitiga siku-siku = a
*   Panjang tinggi segitiga siku-siku = t
*   Luas segitiga (L) = \frac{1}{2} \times a \times t

Diketahui bahwa jumlah panjang sisi alas dan tegak adalah 8 cm:
a + t = 8

Dari persamaan ini, kita bisa menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain, misalnya:
t = 8 - a

Sekarang substitusikan ini ke dalam rumus luas:
L(a) = \frac{1}{2} \times a \times (8 - a)
L(a) = \frac{1}{2} (8a - a^2)
L(a) = 4a - \frac{1}{2} a^2

Untuk mencari luas terbesar (maksimum), kita bisa menggunakan konsep kalkulus (turunan) atau sifat parabola.

**Menggunakan Kalkulus:**
Kita cari turunan pertama L(a) terhadap a dan samakan dengan nol untuk mencari nilai a yang memberikan luas maksimum.
\frac{dL}{da} = \frac{d}{da} (4a - \frac{1}{2} a^2)
\frac{dL}{da} = 4 - a

Samakan turunan pertama dengan nol:
4 - a = 0
a = 4

Jika a = 4 cm, maka t = 8 - a = 8 - 4 = 4 cm.

Luas terbesar adalah:
L = \frac{1}{2} \times 4 cm \times 4 cm
L = \frac{1}{2} \times 16 cm^2
L = 8 cm^2

**Menggunakan Sifat Parabola:**
Fungsi luas L(a) = -\frac{1}{2} a^2 + 4a adalah fungsi kuadrat yang grafiknya berbentuk parabola terbuka ke bawah (karena koefisien a^2 negatif). Nilai maksimum terjadi pada titik puncaknya.

Koordinat x (dalam hal ini 'a') dari titik puncak parabola y = ax^2 + bx + c adalah -b/(2a).
Dalam kasus kita, L(a) = -\frac{1}{2} a^2 + 4a, jadi koefisiennya adalah: koefisien a = -1/2, koefisien b = 4.

Nilai a untuk luas maksimum = - (4) / (2 \times -1/2)
Nilai a = -4 / -1
a = 4

Sama seperti hasil kalkulus, a = 4 cm. Maka t = 8 - 4 = 4 cm.
Luas terbesar = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 cm^2.

Jadi, luas terbesar dari segitiga siku-siku tersebut adalah 8 cm^2.