Jumlah semua nilai sin x yang memenuhi persamaan cos^2

Jumlah nilai $\sin x$ adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2 = -2\sin x$ dengan $0 < x < 180^\circ$, kita perlu menyederhanakan persamaan tersebut terlebih dahulu. 
Kita bisa menggunakan identitas trigonometri $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ dan $\cos x = \frac{\sin(2x)}{2\sin x}$ (jika $\sin x 
eq 0$). Namun, lebih mudah jika kita menggunakan identitas $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ dan mencoba mengubah persamaan menjadi bentuk yang melibatkan hanya $\sin x$ dan $\cos x$ atau identitas sudut ganda.

Mari kita ubah persamaan menjadi:
$\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2 = -2\sin x$
Substitusikan $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$(1 - \sin^2 x) - 3\sin x \cos x - 2 = -2\sin x$
$- \sin^2 x - 3\sin x \cos x - 1 = -2\sin x$
$3\sin x \cos x + \sin^2 x - 2\sin x + 1 = 0$

Persamaan ini masih sulit diselesaikan secara langsung. Mari kita coba pendekatan lain. Perhatikan bahwa $-2$ dapat ditulis sebagai $-2(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
$\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = -2\sin x$
$\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = -2\sin x$
$- \cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2\sin^2 x = -2\sin x$
Teknik yang lebih umum adalah mengubah persamaan menjadi bentuk yang melibatkan tangen, dengan membagi seluruh persamaan dengan $\cos^2 x$, tetapi kita harus berhati-hati jika $\cos x = 0$. Jika $\cos x = 0$, maka $x = 90^\circ$ (dalam rentang $0 < x < 180^\circ$). Mari kita cek jika $x = 90^\circ$ adalah solusi:
$cos^2(90^\circ) - 3sin(90^\circ)cos(90^\circ) - 2 = -2sin(90^\circ)$
$0^2 - 3(1)(0) - 2 = -2(1)$
$0 - 0 - 2 = -2$
$-2 = -2$
Jadi, $x = 90^\circ$ adalah salah satu solusi.

Sekarang, asumsikan $\cos x \neq 0$ dan bagi seluruh persamaan dengan $\cos^2 x$:
$\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2}{\cos^2 x} = -\frac{2\sin x}{\cos^2 x}$
$1 - 3\frac{\sin x}{\cos x} - 2\sec^2 x = -2\frac{\sin x}{\cos x}\frac{1}{\cos x}$
$1 - 3\tan x - 2\sec^2 x = -2\tan x \sec x$
Gunakan identitas $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$:
$1 - 3\tan x - 2(1 + \tan^2 x) = -2\tan x \sec x$
$1 - 3\tan x - 2 - 2\tan^2 x = -2\tan x \sec x$
$-1 - 3\tan x - 2\tan^2 x = -2\tan x \sec x$

Pendekatan ini tampaknya menjadi lebih rumit. Mari kita coba faktorisasi setelah menyusun ulang:
$\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2 + 2\sin x = 0$
Kita tahu $x=90^\circ$ adalah solusi. Ini berarti $(\sin x - 1)$ adalah faktor dari suku banyak yang dibentuk oleh persamaan jika kita mengganti $\cos x$ dengan $\sqrt{1-\sin^2 x}$ atau menggunakan substitusi lain. 

Mari kita kembali ke persamaan: $\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2 + 2\sin x = 0$.
Kita tahu $x=90^\circ$ adalah solusi. Jadi $\sin 90^\circ = 1$. 

Perhatikan persamaan:
$\cos^2 x - 2 + 2\sin x = 3\sin x \cos x$
$1 - \sin^2 x - 2 + 2\sin x = 3\sin x \cos x$
$-\sin^2 x + 2\sin x - 1 = 3\sin x \cos x$
$-(\sin^2 x - 2\sin x + 1) = 3\sin x \cos x$
$-(\sin x - 1)^2 = 3\sin x \cos x$

Karena kita tahu $x = 90^\circ$ adalah solusi, $\sin x = 1$ dan $\cos x = 0$. Maka:
$-(1 - 1)^2 = 3(1)(0)$
$-(0)^2 = 0$
$0 = 0$. Ini mengkonfirmasi $x = 90^\circ$ sebagai solusi.

Sekarang, kita perlu mencari solusi lain untuk $0 < x < 180^\circ$. 
Kita punya $-(\sin x - 1)^2 = 3\sin x \cos x$. 
Jika $\sin x \neq 1$ dan $\cos x \neq 0$, kita bisa membagi dengan $\cos^2 x$ atau $\sin x$. 

Mari kita coba membagi dengan $\cos x$ (dengan asumsi $\cos x \neq 0$):
$-(\sin x - 1)^2 / \cos x = 3\sin x$
$-(\sin^2 x - 2\sin x + 1) / \cos x = 3\sin x$
$-(\sin^2 x - 2\sin x + 1) = 3\sin x \cos x$
Ini kembali ke persamaan semula.

Mari kita coba membagi dengan $\sin x$ (dengan asumsi $\sin x \neq 0$):
$-(\sin x - 1)^2 / \sin x = 3\cos x$
$-(\sin x - 2 + 1/\sin x) = 3\cos x$

Mari kita ubah persamaan asli menjadi bentuk yang lebih mudah difaktorkan.
$\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2 + 2\sin x = 0$
Kita tahu $(\sin x - 1)$ adalah faktor. Mari kita coba faktorkan:
$(A\sin x + B\cos x + C)(D\sin x + E\cos x + F) = 0$

Cara lain adalah dengan memanipulasi persamaan untuk mendapatkan bentuk $(\sin x - 1)$ sebagai faktor.
Kita punya $-(\sin x - 1)^2 = 3\sin x \cos x$.
Jika $\sin x \neq 1$, kita bisa membagi kedua sisi dengan $(\sin x - 1)$.
$-(\sin x - 1) = \frac{3\sin x \cos x}{\sin x - 1}$

Mari kita coba menggunakan substitusi $t = \tan(x/2)$.
$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
Persamaan asli: $\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2 + 2\sin x = 0$
$(\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 - 3(\frac{2t}{1+t^2})(\frac{1-t^2}{1+t^2}) - 2 + 2(\frac{2t}{1+t^2}) = 0$
Kalikan dengan $(1+t^2)^2$:
$(1-t^2)^2 - 3(2t)(1-t^2) - 2(1+t^2)^2 + 2(2t)(1+t^2) = 0$
$(1 - 2t^2 + t^4) - (6t - 6t^3) - 2(1 + 2t^2 + t^4) + (4t + 4t^3) = 0$
$1 - 2t^2 + t^4 - 6t + 6t^3 - 2 - 4t^2 - 2t^4 + 4t + 4t^3 = 0$
Gabungkan suku-suku yang sejenis:
$(t^4 - 2t^4) + (6t^3 + 4t^3) + (-2t^2 - 4t^2) + (-6t + 4t) + (1 - 2) = 0$
$-t^4 + 10t^3 - 6t^2 - 2t - 1 = 0$
$t^4 - 10t^3 + 6t^2 + 2t + 1 = 0$

Ini juga terlihat rumit.

Mari kita kembali ke $-(\sin x - 1)^2 = 3\sin x \cos x$.
Jika $x = 90^\circ$, $\sin x = 1$, $\cos x = 0$. Ini adalah solusi.

Perhatikan persamaan asli lagi: $\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2 + 2\sin x = 0$.
Karena $x = 90^\circ$ adalah solusi, maka kita bisa berasumsi ada faktor $(\sin x - 1)$.
Mari kita coba bagi persamaan dengan $(\sin x - 1)$. Untuk melakukan ini, kita perlu mengekspresikan $\cos x$ dalam $\sin x$. Namun, $\cos x = \pm \sqrt{1-\sin^2 x}$.

Alternatif: Gunakan identitas $2\sin x = 2\sin x$. Coba ubah $-2$ menjadi $-2\sin^2 x - 2\cos^2 x$.
$\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x = 0$
$\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x + 2\sin x = 0$
$- \cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2\sin^2 x + 2\sin x = 0$
Bagi dengan $-\cos^2 x$ (asumsikan $\cos x \neq 0$):
$1 + 3\tan x + 2\tan^2 x - 2\frac{\sin x}{\cos^2 x} = 0$
$1 + 3\tan x + 2\tan^2 x - 2\tan x \sec x = 0$

Mari kita kembali ke bentuk $-(\sin x - 1)^2 = 3\sin x \cos x$.
Jika $x \in (0, 180^\circ)$, maka $\sin x > 0$. 
Jika $x \in (0, 90^\circ)$, $\cos x > 0$, sehingga $3\sin x \cos x > 0$. Maka $-(\sin x - 1)^2$ harus positif, yang tidak mungkin karena kuadrat selalu non-negatif.
Jadi, tidak ada solusi di $(0, 90^\circ)$.

Jika $x \in (90^\circ, 180^\circ)$, $\cos x < 0$, sehingga $3\sin x \cos x < 0$. Maka $-(\sin x - 1)^2$ harus negatif, yang juga tidak mungkin.

Ini berarti satu-satunya solusi adalah ketika kedua sisi sama dengan 0. Yaitu, $\sin x - 1 = 0$ dan $3\sin x \cos x = 0$.
$\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1$. Dalam rentang $0 < x < 180^\circ$, ini terjadi saat $x = 90^\circ$.
Jika $x = 90^\circ$, $\cos x = 0$. Maka $3\sin x \cos x = 3(1)(0) = 0$.

Jadi, tampaknya satu-satunya solusi adalah $x = 90^\circ$. 

Mari kita cek lagi persamaan asli dengan $x=90^\circ$: $\cos^2(90^\circ) - 3\sin(90^\circ)\cos(90^\circ) - 2 = -2\sin(90^\circ)$.
$0^2 - 3(1)(0) - 2 = -2(1)$
$0 - 0 - 2 = -2$
$-2 = -2$. Ini benar.

Apakah ada kemungkinan lain?
Jika kita membagi $-(\sin x - 1)^2 = 3\sin x \cos x$ dengan $\sin x$, kita mendapatkan:
$-(\sin x - 2 + 1/\sin x) = 3\cos x$. Ini tidak membantu.

Mari kita kembali ke persamaan:
$\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 2 + 2\sin x = 0$
Kita bisa memfaktorkannya menjadi $(\sin x - 1)(\dots) = 0$ jika kita bisa membentuknya.
Perhatikan bahwa $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$. 
Jadi, $\cos^2 x - 2 + 2\sin x = -\sin^2 x - 1 + 2\sin x = -(\sin^2 x - 2\sin x + 1) = -(\sin x - 1)^2$.

Maka persamaan menjadi $-(\sin x - 1)^2 - 3\sin x \cos x = 0$.
$-(\sin x - 1)^2 = 3\sin x \cos x$.

Kita perlu mencari nilai $\sin x$ yang memenuhi ini.
Karena $-(\sin x - 1)^2 \le 0$ dan $\sin x > 0$ untuk $x \in (0, 180^\circ)$, maka $3\sin x \cos x$ harus $\le 0$.
Ini berarti $\cos x \le 0$. Dalam rentang $(0, 180^\circ)$, ini terjadi ketika $x \in [90^\circ, 180^\circ)$.

Jika $x = 90^\circ$, $\sin x = 1$, $\cos x = 0$. Kedua sisi adalah 0. Jadi $x = 90^\circ$ adalah solusi.

Jika $x \in (90^\circ, 180^\circ)$, maka $\sin x < 1$ dan $\cos x < 0$.
Kita punya $-(\sin x - 1)^2 = 3\sin x \cos x$.
Karena $\sin x < 1$, $(\sin x - 1) \neq 0$.
Bagi kedua sisi dengan $\sin x$ (karena $\sin x \neq 0$ di rentang ini):
$-(\sin x - 2 + 1/\sin x) = 3\cos x$
$-(\sin x - 1)^2 / \sin x = 3\cos x$
$-(\sin^2 x - 2\sin x + 1) = 3\sin x \cos x$

Mari kita coba membagi dengan $\cos x$ (karena $\cos x \neq 0$ di rentang ini):
$-(\sin x - 1)^2 / \cos x = 3\sin x$
$-(\sin^2 x - 2\sin x + 1) = 3\sin x \cos x$

Perhatikan bahwa $\cos x = -\sqrt{1-\sin^2 x}$ untuk $x \in (90^\circ, 180^\circ)$.
$-(\sin x - 1)^2 = -3\sin x \sqrt{1-\sin^2 x}$
$(\sin x - 1)^2 = 3\sin x \sqrt{1-\sin^2 x}$
Kuadratkan kedua sisi:
$(\sin x - 1)^4 = 9\sin^2 x (1-\sin^2 x)$
Misalkan $y = \sin x$. Maka $0 < y < 1$ untuk $x \in (90^\circ, 180^\circ)$.
$(y - 1)^4 = 9y^2 (1-y^2)$
$(1 - y)^4 = 9y^2 (1-y)(1+y)$
Karena $y \neq 1$, kita bisa membagi dengan $(1-y)$:
$(1 - y)^3 = 9y^2 (1+y)$
$1 - 3y + 3y^2 - y^3 = 9y^2 + 9y^3$
$10y^3 - 3y^2 + 3y + 1 = 0$

Kita perlu mencari akar positif dari polinomial $P(y) = 10y^3 - 3y^2 + 3y + 1 = 0$ dimana $0 < y < 1$. 
Mari kita periksa turunan $P'(y) = 30y^2 - 6y + 3$. Diskriminan dari $P'(y)$ adalah $(-6)^2 - 4(30)(3) = 36 - 360 = -324 < 0$. Karena koefisien $y^2$ positif, $P'(y)$ selalu positif, yang berarti $P(y)$ adalah fungsi yang menaik.
$P(0) = 1$. $P(1) = 10 - 3 + 3 + 1 = 11$. Karena $P(y)$ naik dari 1 ke 11 untuk $y \in (0, 1)$, tidak ada akar di rentang ini.

Jadi, satu-satunya solusi adalah $x = 90^\circ$.

Jumlah semua nilai $\sin x$ yang memenuhi persamaan adalah $\sin(90^\circ) = 1$.