Kedudukan garis x+3y-5=0 terhadap lingkaran

Garis singgung

Pembahasan

Untuk menentukan kedudukan garis $x + 3y - 5 = 0$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 5 = 0$, kita perlu mencari titik potong antara garis dan lingkaran. Cara paling umum adalah dengan mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran.

Dari persamaan garis, kita bisa menyatakan $x$ dalam bentuk $y$ (atau sebaliknya):
$x = 5 - 3y$

Substitusikan ekspresi $x$ ini ke dalam persamaan lingkaran:
$(5 - 3y)^2 + y^2 - 2(5 - 3y) + 4y - 5 = 0$

Jabarkan dan sederhanakan persamaan tersebut:
$(25 - 30y + 9y^2) + y^2 - (10 - 6y) + 4y - 5 = 0$
$25 - 30y + 9y^2 + y^2 - 10 + 6y + 4y - 5 = 0$

Kelompokkan suku-suku yang sejenis:
$(9y^2 + y^2) + (-30y + 6y + 4y) + (25 - 10 - 5) = 0$
$10y^2 - 20y + 10 = 0$

Bagi seluruh persamaan dengan 10:
$y^2 - 2y + 1 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(y - 1)(y - 1) = 0$
$(y - 1)^2 = 0$

Dari sini, kita mendapatkan $y = 1$.

Sekarang, substitusikan nilai $y = 1$ kembali ke persamaan garis untuk mencari nilai $x$:
$x = 5 - 3y$
$x = 5 - 3(1)$
$x = 5 - 3$
$x = 2$

Karena kita mendapatkan satu pasangan nilai $(x, y)$ yaitu $(2, 1)$ yang memenuhi kedua persamaan, ini berarti garis tersebut memotong lingkaran di satu titik. Garis yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singgung.

Jadi, kedudukan garis $x + 3y - 5 = 0$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 5 = 0$ adalah garis singgung.