Ketika membangun jalan, di samping sebuah permukaan tegak,

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y=4 + 5/3x - 1/3x² dan garis y=4 - 1/3x adalah 12 satuan luas.

Pembahasan

Untuk menentukan luas jaringan kawat yang diperlukan untuk menutupi bagian permukaan batuan yang diarsir, kita perlu menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola y = 4 + 5/3x - 1/3x² dan garis lurus y = 4 - 1/3x.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Cari titik potong antara parabola dan garis:**
    Kita samakan kedua persamaan untuk mencari nilai x di mana kedua kurva berpotongan:
    4 + 5/3x - 1/3x² = 4 - 1/3x
    Kurangi 4 dari kedua sisi:
    5/3x - 1/3x² = -1/3x
    Tambahkan 1/3x ke kedua sisi:
    5/3x + 1/3x - 1/3x² = 0
    6/3x - 1/3x² = 0
    2x - 1/3x² = 0
    Faktorkan x:
x(2 - 1/3x) = 0

    Ini memberikan dua solusi untuk x:
x = 0
atau
2 - 1/3x = 0
2 = 1/3x
x = 6

    Jadi, titik potongnya terjadi pada x = 0 dan x = 6.

2.  **Tentukan fungsi mana yang berada di atas:**
    Untuk menentukan fungsi mana yang berada di atas antara x = 0 dan x = 6, kita bisa mengambil nilai x di antara keduanya, misalnya x = 3, dan substitusikan ke kedua persamaan.
    *   Parabola: y = 4 + 5/3(3) - 1/3(3)² = 4 + 5 - 1/3(9) = 4 + 5 - 3 = 6
    *   Garis: y = 4 - 1/3(3) = 4 - 1 = 3

    Karena nilai y pada parabola (6) lebih besar daripada nilai y pada garis (3) pada x = 3, maka parabola berada di atas garis pada interval [0, 6].

3.  **Hitung luas daerah menggunakan integral:**
    Luas daerah (A) dihitung dengan mengintegralkan selisih antara fungsi atas (parabola) dan fungsi bawah (garis) dari batas bawah x = 0 hingga batas atas x = 6.
    A = ∫[dari 0 sampai 6] ( (4 + 5/3x - 1/3x²) - (4 - 1/3x) ) dx
    A = ∫[dari 0 sampai 6] ( 4 + 5/3x - 1/3x² - 4 + 1/3x ) dx
    A = ∫[dari 0 sampai 6] ( 6/3x - 1/3x² ) dx
    A = ∫[dari 0 sampai 6] ( 2x - 1/3x² ) dx

    Sekarang, integralkan terhadap x:
A = [x² - (1/3) * (1/3)x³] [dari 0 sampai 6]
A = [x² - 1/9x³] [dari 0 sampai 6]

    Evaluasi integral pada batas atas dan batas bawah:
A = [(6)² - 1/9(6)³] - [(0)² - 1/9(0)³]
A = [36 - 1/9(216)] - [0 - 0]
A = [36 - 216/9]
A = [36 - 24]
A = 12

Jadi, luas jaringan kawat yang diperlukan untuk menutupi bagian permukaan batuan ini adalah 12 satuan luas.