Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathGeometri Ruang

Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm . P terletak pada

Pertanyaan

Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. P terletak pada perpanjangan DC sehingga CP=(1)/(2) DC. Jarak titik P ke garis BD adalah ....

Solusi

Verified

Jarak titik P ke garis BD adalah $3\sqrt{2}$ cm. Ini dihitung dengan menentukan koordinat titik-titik, vektor arah, dan menggunakan rumus jarak titik ke garis atau luas segitiga.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik P ke garis BD pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, di mana P terletak pada perpanjangan DC sehingga CP = (1/2) DC, kita perlu menggunakan konsep geometri ruang dan vektor atau teorema Pythagoras. Langkah-langkah penyelesaian: 1. **Pahami Geometri Kubus dan Titik P:** * Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk = 4 cm. * Titik P terletak pada perpanjangan garis DC. Ini berarti P berada di luar segmen DC, pada garis yang sama. * CP = (1/2) DC. Karena DC adalah rusuk kubus, DC = 4 cm. Maka, CP = (1/2) * 4 cm = 2 cm. * Karena P pada perpanjangan DC, urutan titiknya adalah D - C - P. * Koordinat titik-titik kubus dapat kita tentukan. Misalkan D=(0,0,0), C=(4,0,0), B=(4,4,0), A=(0,4,0), H=(0,0,4), G=(4,0,4), F=(4,4,4), E=(0,4,4). * Titik P terletak pada perpanjangan DC. Garis DC berada pada sumbu x positif dari D ke C. Perpanjangan DC berarti P berada di sebelah kanan C pada sumbu x. * Koordinat C = (4,0,0). Karena P pada perpanjangan DC dan CP = 2, maka P = (4+2, 0, 0) = (6,0,0). 2. **Tentukan Garis BD:** * Garis BD menghubungkan titik B dan D. * Koordinat B = (4,4,0). * Koordinat D = (0,0,0). * Vektor BD = D - B = (0-4, 0-4, 0-0) = (-4, -4, 0). * Atau, vektor DB = B - D = (4,4,0). * Garis BD dapat direpresentasikan sebagai titik D + t * vektor DB = (0,0,0) + t * (4,4,0) = (4t, 4t, 0), di mana t adalah parameter. 3. **Tentukan Jarak Titik P ke Garis BD:** Jarak titik P ke garis BD adalah panjang proyeksi vektor PD (atau PB) ke vektor normal bidang yang mengandung garis BD dan tegak lurus terhadap arah garis BD. Cara yang lebih mudah adalah mencari panjang vektor dari P ke suatu titik pada garis BD, di mana vektor tersebut tegak lurus dengan arah garis BD. Misalkan Q adalah titik pada garis BD sedemikian rupa sehingga PQ tegak lurus BD. Maka, PQ adalah jarak yang kita cari. Titik Q pada garis BD dapat ditulis sebagai Q = (4t, 4t, 0) untuk suatu nilai t. Vektor PQ = Q - P = (4t - 6, 4t - 0, 0 - 0) = (4t - 6, 4t, 0). Agar PQ tegak lurus BD, hasil kali titik PQ dengan vektor arah BD (misalnya DB = (4,4,0)) harus nol: PQ · DB = 0 (4t - 6, 4t, 0) · (4, 4, 0) = 0 (4t - 6) * 4 + (4t) * 4 + 0 * 0 = 0 16t - 24 + 16t = 0 32t - 24 = 0 32t = 24 t = 24 / 32 = 3 / 4 Sekarang kita substitusikan nilai t = 3/4 ke dalam vektor PQ untuk menemukan vektor PQ: PQ = (4 * (3/4) - 6, 4 * (3/4), 0) PQ = (3 - 6, 3, 0) PQ = (-3, 3, 0) Jarak PQ adalah panjang vektor PQ: Jarak = ||PQ|| = sqrt((-3)^2 + 3^2 + 0^2) Jarak = sqrt(9 + 9 + 0) Jarak = sqrt(18) Jarak = sqrt(9 * 2) Jarak = 3 * sqrt(2) cm. Alternatif menggunakan proyeksi: Misalkan kita ingin mencari jarak P ke garis BD. Kita bisa menggunakan rumus jarak titik ke garis dalam 3D, atau mencari proyeksi vektor. Ambil vektor PB = B - P = (4-6, 4-0, 0-0) = (-2, 4, 0). Kita perlu memproyeksikan PB pada arah DB. Vektor arah DB = (4,4,0). Panjang DB = ||DB|| = sqrt(4^2 + 4^2 + 0^2) = sqrt(16+16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2). Proyeksi PB pada DB adalah (PB · DB) / ||DB||. PB · DB = (-2)(4) + (4)(4) + (0)(0) = -8 + 16 = 8. Panjang proyeksi = 8 / (4*sqrt(2)) = 2 / sqrt(2) = sqrt(2). Ini adalah panjang proyeksi titik P ke garis BD, diukur dari titik D. Misalkan proyeksi P pada garis BD adalah Q. Maka DQ = sqrt(2). Sekarang, kita perlu mencari panjang PQ. Kita tahu panjang PB = ||PB|| = sqrt((-2)^2 + 4^2 + 0^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2*sqrt(5). Dalam segitiga siku-siku PDQ (di mana PQ tegak lurus BD), berlaku $PD^2 = PQ^2 + DQ^2$ jika Q terletak di antara D dan B. Namun, kita perlu PQ tegak lurus BD. Mari kita gunakan segitiga yang dibentuk oleh P, B, dan titik Q pada BD sehingga PQ tegak lurus BD. Kita punya titik P=(6,0,0), D=(0,0,0), B=(4,4,0). Panjang PD = sqrt((6-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2) = sqrt(36) = 6 cm. Panjang PB = sqrt((6-4)^2 + (0-4)^2 + (0-0)^2) = sqrt(2^2 + (-4)^2) = sqrt(4+16) = sqrt(20) = 2*sqrt(5) cm. Panjang DB = sqrt((4-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2) = sqrt(16+16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2) cm. Kita mencari jarak P ke garis BD. Gunakan luas segitiga PDB. Luas segitiga PDB dapat dihitung dengan setengah hasil kali alas kali tinggi. Kita bisa pakai alas DB, dan tinggi adalah jarak P ke BD. Luas segitiga PDB = 1/2 * alas * tinggi Luas = 1/2 * BD * PQ Untuk mencari luas segitiga PDB, kita bisa menggunakan koordinat atau rumus Heron. Dengan vektor: Luas = 1/2 * || vektor PD x vektor PB || PD = D - P = (0-6, 0-0, 0-0) = (-6, 0, 0) PB = B - P = (4-6, 4-0, 0-0) = (-2, 4, 0) PD x PB = | i j k | | -6 0 0 | | -2 4 0 | = i(0*0 - 0*4) - j((-6)*0 - 0*(-2)) + k((-6)*4 - 0*(-2)) = i(0) - j(0) + k(-24) = (0, 0, -24) Luas = 1/2 * ||(0, 0, -24)|| = 1/2 * sqrt(0^2 + 0^2 + (-24)^2) = 1/2 * sqrt(576) = 1/2 * 24 = 12. Sekarang, gunakan rumus Luas = 1/2 * BD * PQ: 12 = 1/2 * (4*sqrt(2)) * PQ 12 = 2*sqrt(2) * PQ PQ = 12 / (2*sqrt(2)) PQ = 6 / sqrt(2) PQ = 6*sqrt(2) / 2 PQ = 3*sqrt(2) cm. Jawaban ini konsisten dengan metode sebelumnya. **Jawaban Ringkas:** Jarak titik P ke garis BD adalah $3\sqrt{2}$ cm.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Jarak Titik Ke Garis Pada Kubus
Section: Kubus Dan Jarak

Apakah jawaban ini membantu?