Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Nilai cosinus

1/√3

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Kita perlu mencari nilai cosinus sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD. Bidang ABCD adalah bidang alas. Bidang AFH dibentuk oleh diagonal AG, diagonal AH, dan diagonal FH. Namun, untuk mencari sudut antara dua bidang, kita perlu mencari garis potong kedua bidang tersebut dan dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong tersebut, masing-masing pada setiap bidang. Garis potong antara bidang AFH dan bidang ABCD adalah garis AH. Garis DH tegak lurus terhadap bidang ABCD, dan DH juga tegak lurus terhadap AH karena AH terletak pada bidang alas. Garis FH terletak pada bidang diagonal BDHF. Untuk mencari garis yang tegak lurus AH pada bidang AFH, kita bisa menggunakan diagonal DF. Proyeksi DF pada bidang ABCD adalah diagonal DB. Sudut antara bidang AFH dan ABCD adalah sudut antara garis FH dan garis AH, atau lebih tepatnya, sudut antara garis yang tegak lurus terhadap AH di kedua bidang. Dalam kubus, sudut antara diagonal bidang dan rusuk yang bertemu di titik yang sama adalah 45 derajat. Untuk sudut antara bidang AFH dan ABCD, kita bisa consider segitiga siku-siku yang dibentuk oleh titik-titik pada kubus. Dengan mempertimbangkan segitiga siku-siku ADH, kita punya AH = sqrt(AD^2 + DH^2) = sqrt(12^2 + 12^2) = 12*sqrt(2). Kita juga perlu mencari jarak dari F ke bidang ABCD, yaitu rusuk FG = 12. Garis potong kedua bidang adalah AH. Garis yang tegak lurus AH pada bidang ABCD adalah DH. Garis yang tegak lurus AH pada bidang AFH adalah garis yang ditarik dari F ke AH sedemikian rupa sehingga tegak lurus. Kita bisa melihat segitiga siku-siku ADH. Pada bidang AFH, proyeksi titik F ke bidang ABCD adalah titik F. Sudut antara bidang AFH dan ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis FH dan rusuk AB (atau AD). Dalam kubus, sudut antara diagonal bidang yang berpotongan dengan diagonal bidang lain adalah 60 derajat. Namun, kita mencari sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD. Garis potongnya adalah AH. Garis DH tegak lurus AH. Garis yang tegak lurus AH pada bidang AFH adalah garis yang ditarik dari F ke AH. Perhatikan segitiga AFH. AF = FH = AH = 12*sqrt(2). Ini adalah segitiga sama sisi. Tapi AFH bukan bidang yang memotong tegak lurus. Mari kita gunakan vektor. Vektor normal bidang ABCD adalah k = (0,0,1). Vektor normal bidang AFH. Titik A=(0,0,0), F=(12,12,0), H=(0,12,12). Vektor AF = (12,12,0), Vektor AH = (0,12,12). Vektor normal n = AF x AH = (144, -144, 144). Normalisasi: n = (1,-1,1). Cosinus sudut antara dua bidang adalah nilai absolut dari cosinus sudut antara vektor normalnya. cos(theta) = |(n1 . n2)| / (||n1|| ||n2||). n1 = (0,0,1), ||n1|| = 1. n2 = (1,-1,1), ||n2|| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(3). n1 . n2 = (0*1 + 0*(-1) + 1*1) = 1. cos(theta) = |1| / (1 * sqrt(3)) = 1/sqrt(3). Jadi, nilai cosinus sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD adalah 1/sqrt(3) atau sqrt(3)/3.