Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a satuan.

Jarak E ke BDG = a/3 akar(3), Jarak C ke BDG = a/3 akar(3). Terdapat ketidaksesuaian pada soal bagian a.

Pembahasan

Untuk membuktikan jarak titik ke bidang pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a satuan:

a. Jarak antara titik E dan bidang BDG
Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal ruang BG atau DG. Kita bisa menggunakan vektor untuk menghitung jarak ini.
Misalkan titik A sebagai pusat koordinat (0,0,0). Maka:
A = (0,0,0), B = (a,0,0), D = (0,a,0), G = (a,a,a), E = (0,a,a)

Cari vektor normal bidang BDG.
$\\\vec{DB} = B - D = (a,0,0) - (0,a,0) = (a, -a, 0)$
$\\\vec{DG} = G - D = (a,a,a) - (0,a,0) = (a, 0, a)$

Vektor normal n = \\[\\]DB x \\[\\]DG = 
  i   j   k
  a  -a   0
  a   0   a
= i(-a*a - 0*0) - j(a*a - 0*a) + k(a*0 - (-a)*a)
= i(-a^2) - j(a^2) + k(a^2)
= (-a^2, -a^2, a^2)

Kita bisa gunakan vektor normal yang lebih sederhana dengan membagi dengan $-a^2$: n' = (1, 1, -1).

Sekarang kita hitung jarak dari titik E(0,a,a) ke bidang yang melalui D(0,a,0) dengan normal n' = (1, 1, -1).
Persamaan bidang: $1(x-0) + 1(y-a) - 1(z-0) = 0$
$x + y - a - z = 0$
$x + y - z - a = 0$

Rumus jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:
Jarak = $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$

Titik E = (0, a, a). Bidang: x + y - z - a = 0 (A=1, B=1, C=-1, D=-a).
Jarak = $|1(0) + 1(a) - 1(a) - a| / \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}$
Jarak = $|0 + a - a - a| / \sqrt{1 + 1 + 1}$
Jarak = $|-a| / \sqrt{3}$
Jarak = $a / \sqrt{3} = a/3 \sqrt{3}$ satuan.

*Terdapat kesalahan dalam soal asli yang menyatakan jarak E ke BDG adalah 2a/3 akar(3). Hasil perhitungan adalah a/3 akar(3).* Perlu diverifikasi kembali apakah bidang yang dimaksud adalah BDG atau bidang lain.

b. Jarak antara titik C dan bidang BDG
Titik C = (a,a,0). Bidang BDG: x + y - z - a = 0.
Jarak = $|1(a) + 1(a) - 1(0) - a| / \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}$
Jarak = $|a + a - 0 - a| / \sqrt{3}$
Jarak = $|a| / \sqrt{3}$
Jarak = $a / \sqrt{3} = a/3 \sqrt{3}$ satuan.

Kesimpulan:
Jarak antara titik E dan bidang BDG adalah a/3 akar(3) satuan (bukan 2a/3 akar(3) seperti yang dinyatakan dalam soal).
Jarak antara titik C dan bidang BDG adalah a/3 akar(3) satuan.