Tuliskan 4 sin 36 cos 72 sin 108 dalam bentuk yang lebih

Bentuk sederhana dari $4 \sin 36^{\circ} \cos 72^{\circ} \sin 108^{\circ}$ adalah $\frac{5 - \sqrt{5}}{4}$.

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi $4 \sin 36^{\circ} \cos 72^{\circ} \sin 108^{\circ}$, kita dapat menggunakan beberapa identitas trigonometri:

1.  $ \sin(180^{\circ} - x) = \sin x $
    Menggunakan identitas ini pada $ \sin 108^{\circ} $:
    $ \sin 108^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 72^{\circ}) = \sin 72^{\circ} $
    Jadi, ekspresi menjadi: $ 4 \sin 36^{\circ} \cos 72^{\circ} \sin 72^{\circ} $

2.  $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $
    Kita bisa mengatur ulang ekspresi untuk menggunakan identitas ini. Perhatikan bahwa kita memiliki $ \sin 72^{\circ} $ dan $ \cos 72^{\circ} $. Kita bisa menulisnya sebagai:
    $ 4 \sin 36^{\circ} \cos 72^{\circ} \sin 72^{\circ} = 2 \sin 36^{\circ} (2 \sin 72^{\circ} \cos 72^{\circ}) $
    Menggunakan identitas $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ dengan $ x = 72^{\circ} $:
    $ 2 \sin 72^{\circ} \cos 72^{\circ} = \sin(2 \times 72^{\circ}) = \sin 144^{\circ} $
    Jadi, ekspresi menjadi: $ 2 \sin 36^{\circ} \sin 144^{\circ} $

3.  Menggunakan kembali identitas $ \sin(180^{\circ} - x) = \sin x $ pada $ \sin 144^{\circ} $:
    $ \sin 144^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 36^{\circ}) = \sin 36^{\circ} $
    Jadi, ekspresi menjadi: $ 2 \sin 36^{\circ} \sin 36^{\circ} = 2 \sin^2 36^{\circ} $

4.  Sekarang kita perlu mencari nilai dari $ \sin^2 36^{\circ} $. Kita tahu bahwa $ \sin 36^{\circ} = \sqrt{\frac{10 - 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} $.
    Maka, $ \sin^2 36^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}\right)^2 = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{5 - \sqrt{5}}{8} $.
    Jadi, $ 2 \sin^2 36^{\circ} = 2 \times \frac{5 - \sqrt{5}}{8} = \frac{5 - \sqrt{5}}{4} $.

Cara lain menggunakan identitas:
$4 \sin 36^{\circ} \cos 72^{\circ} \sin 108^{\circ}$
Kita tahu $ \cos 72^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 72^{\circ}) = \sin 18^{\circ} $.
Dan $ \sin 108^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 72^{\circ}) = \sin 72^{\circ} $.

Ekspresi menjadi: $ 4 \sin 36^{\circ} \sin 18^{\circ} \sin 72^{\circ} $
Kita juga tahu $ \sin 72^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 72^{\circ}) = \cos 18^{\circ} $.

Ekspresi menjadi: $ 4 \sin 36^{\circ} \sin 18^{\circ} \cos 18^{\circ} $
Kita tahu $ \sin 18^{\circ} \cos 18^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 18^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 36^{\circ} $.

Ekspresi menjadi: $ 4 \sin 36^{\circ} \left(\frac{1}{2} \sin 36^{\circ}\right) = 2 \sin^2 36^{\circ} $.

Seperti sebelumnya, $ \sin 36^{\circ} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} $.
$ \sin^2 36^{\circ} = \frac{10-2\sqrt{5}}{16} = \frac{5-\sqrt{5}}{8} $.
$ 2 \sin^2 36^{\circ} = 2 \times \frac{5-\sqrt{5}}{8} = \frac{5-\sqrt{5}}{4} $.

Alternatif lain menggunakan identitas produk-ke-jumlah:
$ \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) - \sin(A-B)] $ (tidak cocok)
$ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ (tidak cocok)
$ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)] $ (tidak cocok)
$ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $

Menggunakan $ \sin 108^{\circ} = \sin 72^{\circ} $.
Ekspresi: $ 4 \sin 36^{\circ} \cos 72^{\circ} \sin 72^{\circ} $.
Mari kita kalikan $ \cos 72^{\circ} \sin 72^{\circ} $ terlebih dahulu.
$ \cos 72^{\circ} \sin 72^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 72^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 144^{\circ} $.
$ \sin 144^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 36^{\circ}) = \sin 36^{\circ} $.
Jadi, $ \cos 72^{\circ} \sin 72^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 36^{\circ} $.

Ekspresi menjadi: $ 4 \sin 36^{\circ} \times \frac{1}{2} \sin 36^{\circ} = 2 \sin^2 36^{\circ} $.

Nilai $ \sin 36^{\circ} $ adalah $ \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} $.
$ 2 \sin^2 36^{\circ} = 2 \left( \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \right)^2 = 2 \left( \frac{10 - 2\sqrt{5}}{16} \right) = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{8} = \frac{5 - \sqrt{5}}{4} $.

Jadi, bentuk yang lebih sederhana dari $ 4 \sin 36^{\circ} \cos 72^{\circ} \sin 108^{\circ} $ adalah $ \frac{5 - \sqrt{5}}{4} $.