Kurva y=a akar(x)+b/(akar(x)) melalui titik A(4,8). Garis

7

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep turunan dan garis singgung.

Diketahui:
Kurva y = a√x + b/√x
Kurva melalui titik A(4, 8).
Gradien garis singgung di titik A tegak lurus dengan garis 2x + y - 1 = 0.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Cari gradien garis singgung.
2. Gunakan informasi bahwa kurva melalui titik A(4, 8) untuk membuat persamaan.
3. Cari turunan pertama dari kurva y terhadap x (y').
4. Samakan turunan pertama di x=4 dengan gradien garis singgung.
5. Selesaikan sistem persamaan untuk menemukan nilai a dan b, kemudian hitung a+b.

1. Gradien garis singgung:
Garis 2x + y - 1 = 0 dapat ditulis sebagai y = -2x + 1. Gradien garis ini adalah m_garis = -2.
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgung (m_singgung) adalah:
m_singgung = -1 / m_garis = -1 / (-2) = 1/2.

2. Kurva melalui titik A(4, 8):
Substitusikan x=4 dan y=8 ke dalam persamaan kurva:
8 = a√4 + b/√4
8 = a(2) + b/2
8 = 2a + b/2
Kalikan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
16 = 4a + b  (Persamaan 1)

3. Turunan pertama kurva y:
Ubah bentuk kurva menjadi y = ax^(1/2) + bx^(-1/2).
Turunan pertamanya (y') adalah:
y' = (1/2)ax^(-1/2) + (-1/2)bx^(-3/2)
y' = a / (2√x) - b / (2x√x)

4. Samakan turunan pertama di x=4 dengan gradien garis singgung:
m_singgung = y'(4)
1/2 = a / (2√4) - b / (2(4)√4)
1/2 = a / (2 * 2) - b / (2 * 4 * 2)
1/2 = a / 4 - b / 16

5. Selesaikan sistem persamaan:
Kita punya dua persamaan:
(1) 16 = 4a + b
(2) 1/2 = a/4 - b/16

Dari Persamaan (1), kita bisa nyatakan b sebagai b = 16 - 4a.
Substitusikan ke Persamaan (2):
1/2 = a/4 - (16 - 4a)/16
Kalikan kedua sisi dengan 16 untuk menghilangkan penyebut:
16 * (1/2) = 16 * (a/4) - 16 * ((16 - 4a)/16)
8 = 4a - (16 - 4a)
8 = 4a - 16 + 4a
8 = 8a - 16
24 = 8a
a = 3

Sekarang cari nilai b menggunakan Persamaan (1):
b = 16 - 4a
b = 16 - 4(3)
b = 16 - 12
b = 4

Nilai a+b adalah:
a + b = 3 + 4 = 7.

Jadi, nilai (a+b) sama dengan 7.